課時(shí)訓(xùn)練50 軌跡問(wèn)題【說(shuō)明】 本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）1.兩定點(diǎn)A（-2，-1），B（2，-1），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y=x2上移動(dòng)，則PAB重心G的軌跡方程是（ ）A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y=x2-答案：B解析：設(shè)G（x,y），P（x0,y0）則x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得重心G的軌跡方程：3x+2=(3x)2.2.曲線C上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)A（1，0）與到定直線x=4的距離之差等于5，則此曲線C是（ ）A.拋物線 B.由兩段拋物線弧連接而成C.雙曲線 D.由一段拋物線和一段雙曲線弧連接而成答案：B解析：設(shè)P（x,y）為曲線C上任意一點(diǎn)，由題意，得-|x-4|=5，故y2=故曲線C是由兩段拋物線弧連接而成.3.下列命題中，一定正確的是（ ）A.到兩定點(diǎn)距離之比為定常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓B.到定點(diǎn)F（-c，0）和到定直線x=-的距離之比為（ac0）的點(diǎn)的軌跡是橢圓的左半部分C.到定直線x=-和到定點(diǎn)F（-c，0）的距離之比為（ac0）的點(diǎn)的軌跡是橢圓D.平面上到兩定點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)（不等于1）的點(diǎn)的軌跡是圓答案：D解析：對(duì)照橢圓定義可知A、B、C都不對(duì)，故知選D.4.一動(dòng)圓與圓x2+y2=1外切，而與圓x2+y2-6x+8=0內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（ ）A.雙曲線的一支 B.橢圓C.拋物線 D.圓答案：A解析：設(shè)動(dòng)圓圓心為P（x，y），半徑為r，又圓（x-3）2+y2=1的圓心為F（3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由雙曲線定義知P點(diǎn)軌跡是雙曲線的右支.5.已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M（-1，2），Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|=|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是( )A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0答案：D解析：設(shè)Q（x，y），則P點(diǎn)（-x-2，-y+4），又點(diǎn)P在直線2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.6.設(shè)A1、A2是橢圓=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)P的軌跡方程為( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案：C解析：設(shè)P1、P2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3cos，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cos,2sin),P2(3cos,-2sin),故直線A1P1和A2P2方程分別為y=(x+3),y=(x-3).設(shè)交點(diǎn)P（x，y），則y2=(x2-9)，即=1.7.點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到直線x=8的距離的比為，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為( )A.=1 B.=1C.=1 D.3x2+4y2+8x-60=0答案：D解析：設(shè)M為（x，y），則|x-8|=12.整理有：3x2+4y2+8x-60=0.二、填空題（每小題5分，共15分）8.(2020北京西城區(qū)一模，12)點(diǎn)P（0，2）到圓C：（x+1）2+y2=1的圓心的距離為_(kāi)，如果A是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，=3,那么點(diǎn)B的軌跡方程為_(kāi).答案： (x-2)2+(y-6)2=4解析：由圓的方程圓心(c-1,0),則P到圓心的距離d=.設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0,y0）、（x,y）.=（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0).=3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).A在圓上，（-+1）2+()2=1.即(x-2)2+(y-6)2=4.即為B點(diǎn)的軌跡方程.9.已知定直線l上有三點(diǎn)A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，動(dòng)圓O恒與l相切于點(diǎn)B，則過(guò)點(diǎn)A、C且都與O相切的直線l1、l2的交點(diǎn)P的軌跡是_.答案：去掉兩個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線解析：由題設(shè)條件可得|PA|-|PC|=3，根據(jù)雙曲線定義知點(diǎn)P的軌跡為去掉兩個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線.10.F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是橢圓上任意一點(diǎn)，從某一焦點(diǎn)引F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡是_.答案：圓解析：如右圖，延長(zhǎng)F1P交F2Q于F1，則|OP|=|F1F2|=|F1Q|+|F2Q|)=(|F1Q|+|F2Q|)=×2a=a.P點(diǎn)軌跡為圓.三、簡(jiǎn)答題（1113題每小題10分，14題13分，共43分）11.設(shè)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線l，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，P為拋物線上任意一點(diǎn)，PQl，Q為垂足，求QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程.解析：設(shè)拋物線上點(diǎn)P（2pt2，2pt）（t0），直線OP的方程為：y=x.又Q（-，2pt），F(xiàn)（，0），直線QF的方程y=-2t(x-).它們的交點(diǎn)M（x，y），由方程組由×得：y2=-2x(x-)，交點(diǎn)M的軌跡方程y2=-2x(x-).12.(2020湖北重點(diǎn)中學(xué)模擬，21)平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿足OC=+，其中、R，且-2=1，（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線=1（a0,b0）交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值.（1）解析：設(shè)C（x，y），因?yàn)?+，則（x，y）=（1，0）+（0，-2）-2=1,x+y=1.即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1.（2）證明：由得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0.由題意,得b2-a20，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）,則：x1+x2=,x1x2=-.因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，=0，即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+=0,即b2-a2-2a2b2=0,=2為定值.13.(2020湖北十一校大聯(lián)考，22)已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A（-2，0），B（2，0），|=2，=（+）,（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn).線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為且直線MN與點(diǎn)E的軌跡相切，求橢圓的方程.解析：（1）設(shè)E（x，y），=（+）=2-.=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).又|=2,x2+y2=1(y0).（2）設(shè)橢圓方程為：=1，直線 l：y=k(x+2),由于直線l與圓E相切，=1.k=±.直線l：y=± (x+2).將y=±(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,則有（3b2+a2）x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.xM+xN=.x中=,|x中|=,5a2=6b2+2a2.a2=2b2.又c2=4,b2=4,a2=8,橢圓方程為=1.14.(2020廣東珠海一模，18)已知兩定點(diǎn)A（-t,0）和B（t，0），t0.S為一動(dòng)點(diǎn)，SA與SB兩直線的斜率乘積為.（1）求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡C的方程，并指出它屬于哪一種常見(jiàn)曲線類(lèi)型；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，曲線C上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱(chēng)？解析：（1）設(shè)S（x，y），SA的斜率k1=(x-t)，SB斜率k2=(xt),由題意，得(x±t),經(jīng)整理，得-y2=1(x±t).點(diǎn)S的軌跡C為雙曲線（除去兩頂點(diǎn)）.（2）假設(shè)C上存在這樣的兩點(diǎn)P（x1，y1)和Q（x2，y2）,則PQ直線斜率為-1，且P、Q的中點(diǎn)在直線x-y-1=0上.設(shè)PQ直線方程為：y=-x+b，由整理得（1-t2）x2+2t2bx-t2b2-t2=0.其中1-t2=0，方程只有一個(gè)解，與假設(shè)不符.當(dāng)1-t20時(shí)，0，=（2bt2）2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)，所以t2b2+1， 又x1+x2=-，所以.代入y=-x+b，得.因?yàn)镻、Q中點(diǎn)為（）在直線x-y-1=0上，所以有：-1=0，整理得t2=, 解，得-1b0,0t1，經(jīng)檢驗(yàn)，得：當(dāng)t?。?，1）中任意一個(gè)值時(shí)，曲線C上均存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱(chēng).