2020高考數(shù)學（理）一輪復習教案：選修4-2矩陣與變換【2020年高考會這樣考】1本部分高考命題的一個熱點是矩陣變換與二階矩陣的乘法運算，考題中多考查求平面圖形在矩陣的對應變換作用下得到的新圖形，進而研究新圖形的性質(zhì)2本部分高考命題的另一個熱點是逆矩陣，主要考查行列式的計算、逆矩陣的性質(zhì)與求法以及借助矩陣解決二元一次方程組的求解問題【復習指導】1認真理解矩陣相等的概念，知道矩陣與矩陣的乘法的意義，并能熟練進行矩陣的乘法運算2掌握幾種常見的變換，了解其特點及矩陣表示，注意結(jié)合圖形去理解和把握矩陣的幾種變換3熟練進行行列式的求值運算，會求矩陣的逆矩陣，并能利用逆矩陣解二元一次方程組基礎梳理1乘法規(guī)則(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法規(guī)則：a11a12a11×b11a12×b21(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則： .(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下： (4)兩個二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地兩個矩陣只有當前一個矩陣的列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等時才能進行乘法運算2常見的平面變換恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換六個變換3逆變換與逆矩陣(1)對于二階矩陣A、B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣；(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)1B1A1.4特征值與特征向量設A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)，存在一個非零向量，使A，那么稱為A的一個特征值，而稱為A的屬于特征值的一個特征向量雙基自測1(2020·南通調(diào)研測試)曲線C1：x22y21在矩陣M的作用下變換為曲線C2，求C2的方程解設P(x，y)為曲線C2上任意一點，P(x，y)為曲線x22y21上與P對應的點，則，即因為P是曲線C1上的點，所以C2的方程為(x2y)22y21.2已知矩陣A將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個特征向量是，求矩陣A.解設A，由 ，得由3，得所以所以A.3(2020·蘇州調(diào)研測試)已知圓C：x2y21在矩陣形A(a0，b0)對應的變換作用下變?yōu)闄E圓1，求a，b的值解設P(x，y)為圓C上的任意一點，在矩陣A對應的變換下變?yōu)榱硪粋€點P(x，y)，則 ，即又因為點P(x，y)在橢圓1上，所以1.由已知條件可知，x2y21，所以a29，b24.因為a0，b0，所以a3，b2.4(2020·南京市模擬)已知a為矩陣A屬于的一個特征向量，求實數(shù)a，的值及A2.解由條件可知 ，所以解得a2.因此A.所以A2 .考向一矩陣與變換【例1】求曲線2x22xy10在矩陣MN對應的變換作用下得到的曲線方程，其中M，N.審題視點 先求積MN，再求變換公式解MN.設P(x，y)是曲線2x22xy10上任意一點，點P在矩陣MN對應的變換下變?yōu)辄cP(x，y)，則，于是xx，yx，代入2x22xy10，得xy1.所以曲線2x22xy10在MN對應的變換作用下得到的曲線方程為xy1.【訓練1】 四邊形ABCD和四邊形ABCD分別是矩形和平行四邊形，其中點的坐標分別為A(1,2)，B(3,2)，C(3，2)，D(1，2)，A(1,0)，B(3,8)，C(3,4)，D(1，4)，求將四邊形ABCD變成四邊形ABCD的變換矩陣M.解該變換為切變變換，設矩陣M為，則.所以k20，解得k2.所以M為.考向二矩陣的乘法與逆矩陣【例2】已知矩陣A，B，求(AB)1.審題視點 求矩陣A的逆矩陣，一般是設A1，由 求得解AB .設(AB)1，則由(AB)·(AB)1，得 ，即，所以解得故(AB)1.【訓練2】 已知矩陣A，B，求矩陣AB的逆矩陣解設矩陣A的逆矩陣為A1，則 ，解之得，a1，b2，c0，d1，所以A1.同理得，B1.又(AB)1B1A1，所以(AB)1.考向三矩陣的特征值與特征向量【例3】已知矩陣M，其中aR，若點P(1，2)在矩陣M的變換下得到點P(4,0)，求：(1)實數(shù)a的值；(2)矩陣M的特征值及其對應的特征向量審題視點 f()(2)(1)6.解(1)由，所以22a4.所以a3.(2)由(1)知M，則矩陣M的特征多項式為f()(2)(1)6234.令f()0，得矩陣M的特征值為1與4.當1時，xy0.所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為.當4時，2x3y0.所以矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為.【訓練3】 已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值11的一個特征向量為a1，屬于特征值24的一個特征向量為a2，求矩陣A.解由特征值、特征向量定義可知，Aa11a1，即1×，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩陣A.矩陣的有關(guān)問題及其求解方法矩陣與變換是理科附加題的選考題，題型主要有矩陣與變換、矩陣的乘積與逆矩陣，求矩陣的特征值與特征向量熟悉變換問題的解題，掌握矩陣乘法法則和求矩陣特征值與特征向量的方法，會用待定系數(shù)法求逆矩陣【示例】 (本題滿分10分)(2020·福建)設矩陣M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩陣M的逆矩陣M1；(2)若曲線C：x2y21在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C：y21，求a，b的值 用待定系數(shù)法求逆矩陣解答示范 (1)設矩陣M的逆矩陣M1，則MM1.又M，所以，所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩陣M1.(5分)(2)設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P(x，y)，則 ，即又點P(x，y)在曲線C上，所以y21，則b2y21為曲線C的方程又已知曲線C的方程為x2y21，故又a0，b0，所以(10分)【試一試】 (2020·江蘇)已知矩陣A，向量，求向量，使得A2.嘗試解答 設，由A2，得，即解得故.