二次函數(shù)專題講解暨二次不等式解法探究引言：歷年數(shù)學(xué)高考考題中都或多或少的出現(xiàn)了二次函數(shù)題，所考查的內(nèi)容涉及許多重要的數(shù)學(xué)思想及方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想；配方法、換元法、賦值法等。要求學(xué)生掌握二次函數(shù)的概念，掌握其圖象、性質(zhì)及圖象與性質(zhì)的關(guān)系，能靈活地運(yùn)用“三個(gè)二次”的相關(guān)知識解題。充分體現(xiàn)了學(xué)生對函數(shù)內(nèi)容的把握程度，是數(shù)學(xué)高考中一個(gè)永恒的話題，真可謂“考你千遍也不厭倦”。形如的函數(shù)叫做關(guān)于的一元二次函數(shù)，其定義域?yàn)?，圖象是一條拋物線，對稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握下列內(nèi)容：合理選擇二次函數(shù)的解析式。*三種常用表達(dá)式：（定義式）；（頂點(diǎn)式）；（兩根式）?！纠}1】已知是二次函數(shù)，且滿足，則 。解答【例題2】設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解答【例題3】設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足，當(dāng)時(shí)，證明：解答熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。二次函數(shù)y=ax2+bx+c, (a>0)y=ax2+bx+c, (a<0)定義域xR值 域（最 值）圖 象拋物線（略），精確度要求不高時(shí)作二次函數(shù)圖象先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的符號，確定圖象的延伸方向；然后考慮對稱軸方程，確定圖象的左右位置；再考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定圖象的上下位置；最后考慮與軸的交點(diǎn)，確定圖象的開口大小。頂 點(diǎn)對稱軸開口方向開口向上開口向下奇偶性b=0時(shí)，是偶函數(shù)；b0，是非奇非偶函數(shù)。單調(diào)性遞增區(qū)間遞減區(qū)間遞減區(qū)間遞增區(qū)間【例題1】函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（ ）Ab0 Bb0 Cb>0 Db<0分析二次函數(shù)的單調(diào)性受二次項(xiàng)系數(shù)（決定左增右減還是左減右增）和對稱軸方程（決定單調(diào)性分界位置）共同制約。因函數(shù)的圖象開口方向向上，對稱軸方程為，則區(qū)間應(yīng)是的子區(qū)間，故選A?！纠}2】已知函數(shù)，如果a>b>c，且a+b+c=0，則它的圖象可能是（ ）分析即圖象開口向上，與軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，故應(yīng)選D?！纠}3】集合=，=，求實(shí)數(shù)的取值集合。解答深刻理解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題。探究最值問題常與函數(shù)求值域問題相聯(lián)系，則我們先求函數(shù)分別在區(qū)間上所對應(yīng)的值域，由配方法化成頂點(diǎn)式，確定圖象開口方向及對稱軸方程，再結(jié)合圖象、性質(zhì)（單調(diào)性）作答，如能取到最值，應(yīng)分別在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得，特別對含參數(shù)的二次函數(shù)，要討論區(qū)間與對稱軸的變化情況。解答【注意】二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題應(yīng)主要考查函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，若在區(qū)間內(nèi)則該點(diǎn)處必取一個(gè)最值，如有另一個(gè)最值應(yīng)在離對稱軸最遠(yuǎn)的區(qū)間端點(diǎn)處取得；若在區(qū)間外，如有最值應(yīng)取在區(qū)間端點(diǎn)處，最值是最大值還是最小值要結(jié)合圖象的開口方向及單調(diào)性判斷。高中階段我們主要研究：二次函數(shù)在閉區(qū)間m，n上的最值；二次函數(shù)在區(qū)間定（動(dòng)），對稱軸動(dòng)（定）時(shí)的最值?！舅伎肌浚ㄒ詀>0為例）對于二次函數(shù)，設(shè)令結(jié)合函數(shù)圖象則相應(yīng)值域（最值）為：觀察值域中最大值、最小值的變化情況易得：求閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值應(yīng)先看二次項(xiàng)系數(shù)，含參數(shù)時(shí)要討論，再把對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)及區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行比較分類，如當(dāng)時(shí)，求最小值分3種情況，即在區(qū)間端點(diǎn)處討論；求最大值分2種情況，即在區(qū)間中點(diǎn)處討論。當(dāng)時(shí)規(guī)律相反?！纠}1】求函數(shù)在區(qū)間上的最值，并求此時(shí)的的值。解答函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1，拋物線開口向上?！纠}2】已知函數(shù)在區(qū)間0，1上的最大值是2，求實(shí)數(shù)的值。解答【例題3】求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。解答透徹領(lǐng)悟“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的內(nèi)在聯(lián)系。=b2-4ac>0=0<0函數(shù)y=ax2+bx+c,(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0的根無實(shí)根不等式ax2+bx+c>0的解集x<x1或x>x2xx1,2R不等式ax2+bx+c<0的解集x1<x<x2*兩條規(guī)律：二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即二次方程的根，且對稱軸方程為；不等式（或）的解集為圖象上方（或下方）的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合?！咀⒁狻慨?dāng)時(shí)要轉(zhuǎn)化、化歸成時(shí)的情況求解?！纠}】已知關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集。解答*一種應(yīng)用：不等式恒成立的條件，令?！纠}1】若關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解答【例題2】已知函數(shù)對任意，恒成立，求滿足的條件。解答由已知只需【例題3】設(shè)，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解答*二次不等式解法探究：一、一元二次不等式解法有（1）圖象法（穿線法、標(biāo)根法）；（2）三個(gè)二次關(guān)系法先化標(biāo)準(zhǔn)型；驗(yàn)證判別式，求方程的根；結(jié)合圖象寫集合；（3）化一元一次不等式組法（符號法則）?！纠}】1. 不等式(x+2)(1-x)>0的解集是（ ）Ax|x<-2或x>1 Bx|-2<x<1 Cx|x<-1或x>2 Dx|-1<x<22.已知集合，則集合=（ ）Ax|x<2 Bx|x>3 Cx|-1<x<2 Dx|2<x<33.二次函數(shù)在y<0時(shí)x的取值范圍是 。 【練習(xí)】1.求下列不等式的解集：（1）-2x2+x+1/2<0;（2）x2<3x+4;（3）x2>2x-3;（4）x2>2x-1;（5）3x2+53x。2.解下列不等式：（1）（2）二、關(guān)于分式不等式，一般是化為一邊為零，另一邊進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一元二次不等式或不等式組來解（注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性），在明確分母的符號的情況下，也可考慮去分母，轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）?！纠}】4.不等式的解集為（ ）Ax|x>1 Bx|x<1 Cx|0<x<1 Dx|-3<x<25.不等式的解集是 ?！揪毩?xí)】3.解不等式4.關(guān)于x的不等式的解集是 。三、二次性不等式解集的逆向思維：題型1：關(guān)于x的不等式的解集為R（或?qū)懽鲗θ我鈞R恒成立）時(shí)的條件是？解集為時(shí)的條件是？討論解集為R解集為思考時(shí)上述情況應(yīng)滿足的條件【例題】6.問a為何值時(shí)，不等式的解是一切實(shí)數(shù)？【練習(xí)】5.不等式對任意xR恒成立，求a與m之間的關(guān)系。題型2：已知不等式及其解集利用根與系數(shù)的關(guān)系求解。首先明確兩個(gè)方面的內(nèi)容，一是根據(jù)不等號方向及解集確定二次項(xiàng)系數(shù)的符號；二是根據(jù)解集的端點(diǎn)值確定對應(yīng)方程的根?！纠}】7.若不等式的解集為，則a+b等于 ?！揪毩?xí)】6.已知關(guān)于x的不等式的解集是，求不等式的解集。四、含參數(shù)的不等式的解法在對一元二次不等式及簡單分式不等式解法的研究中，我們最關(guān)心的問題是二次項(xiàng)系數(shù)的情況（a>0、a=0、a<0）、判別式的情況（>0、=0、<0）及對應(yīng)方程根的情況（根的個(gè)數(shù)、根的正負(fù)、根的大小等），所以在解決含參數(shù)的不等式的求解問題時(shí)，也要從這幾個(gè)方面入手，進(jìn)行分層討論。同時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分解因式、求根公式、韋達(dá)定理、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想、公式、定理的運(yùn)用也很關(guān)鍵?！纠}】8.關(guān)于x的方程有兩異號實(shí)根，則a的取值范圍是 。提示：方程根的正負(fù)主要由判別式及韋達(dá)定理內(nèi)容來決定，即方程有兩個(gè)正（負(fù)）實(shí)根；方程有兩異號實(shí)根【例題】9.解不等式【練習(xí)】7.解關(guān)于x的不等式【練習(xí)】8.解不等式正確應(yīng)用一元二次方程（實(shí)系數(shù)）的實(shí)根分布?！纠}】試討論方程的根的情況。（1）根的個(gè)數(shù)：b，c滿足什么條件時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根？相等實(shí)根？無實(shí)根？（2）根的大?。篵，c滿足什么條件時(shí)，方程有兩個(gè)正根？兩個(gè)負(fù)根？兩個(gè)異號根？一根為0？（3）根的范圍：b，c滿足什么條件時(shí)，方程兩根都大于1？都小于1？一根大于1，一根小于1？分析對于一元二次方程的根的研究，主要分四個(gè)方面。（A）根的虛、實(shí)；（B）根的相等與不等；（C）根的正負(fù)；（D）根的范圍。利用根的判別式，可以解決（A）（B），利用韋達(dá)定理，可以解決（C）。對于（D）現(xiàn)結(jié)合問題（3），予以討論。解答（方法一：方程思想）若令，方程化為：問題（3）轉(zhuǎn)化為方程（*）有兩個(gè)正根，兩個(gè)負(fù)根，兩個(gè)異號根。（*）有兩個(gè)正根的條件是（*）有兩個(gè)負(fù)根的條件是（*）有兩異號根的條件是解答（方法二：函數(shù)思想）設(shè)，結(jié)合函數(shù)圖象如下，則方程f(x)=0的兩根都大于1的條件是方程f(x)=0的兩根都小于1的條件是方程f(x)=0的兩根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1的條件是分析兩種不同思路，從不同角度（一個(gè)是代數(shù)法考慮方程判別式與韋達(dá)定理，一個(gè)是幾何法結(jié)合圖象），對根的分布給予討論，有異曲同工之妙?！纠}】已知關(guān)于x的方程分別在下列條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（1）有一個(gè)根小于-1，有一個(gè)根大于1；（2）兩根均在內(nèi)。分析此題若用方程變換，則很吃力，若用函數(shù)思想，則問題變得簡明、直觀。解答設(shè)如圖：為使f(x)=0有一個(gè)根小于-1，一個(gè)根大于1只需即為所求；為使f(x)=0的兩根均在區(qū)間內(nèi)，只需?！舅伎肌浚?）中為什么不考慮>0？（2）中為什么考慮四個(gè)條件，缺一個(gè)行嗎？結(jié)論一般地，用函數(shù)思想結(jié)合圖象來分析方程ax2+bx+c=0(a0)的實(shí)根分布情況要考慮四個(gè)必要條件。二次項(xiàng)系數(shù)a，決定圖象開口（延伸）方向；判別式=b2-4ac，決定與x軸的位置；對稱軸x=-b/2a，決定圖象左右平移；特殊點(diǎn)（區(qū)間端點(diǎn)）所對函數(shù)值f(x0)的正負(fù)，決定圖象開口大小。原則上四者缺一不可，但是如果圖象開口向上且有下方部分，則判別式可以省略，例（1）；如果兩根的位置已經(jīng)確定，則對稱軸可以不考慮。上述結(jié)論切勿死記硬背，要結(jié)合圖象具體分析。例（2）條件如果缺少就會出現(xiàn)如下情況：拓展對于只需利用變換即可化歸為前面討論過的問題，由于與同號，故我們有若相應(yīng)的方程的兩個(gè)實(shí)根為，實(shí)數(shù)，則方程的根的分布情況可總結(jié)如下：根的范圍圖象顯示充要條件都大于n都小于m都在n，m之間n在之間只有一根在n，m之間n，m在之間【注意】以上結(jié)論，一定要結(jié)合圖象推導(dǎo)，萬不可死記硬背。【例題】分別求使方程的兩根滿足下列條件的值的集合。（1）一根小于0，另一根大于2；（2）一根在0與1之間，一根在1與2之間；（3）兩根都在-4與0之間；（4）兩根都大于-5。