(時(shí)間60分鐘，滿(mǎn)分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分)1(2020·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a14的等比數(shù)列，且4a1，a5，2a3成等差數(shù)列，則其公比q等于()A1B1C1或1 D.解析：依題意有2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，整理得q4q220，解得q21(q22舍去)，所以q1或1.答案：C2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S210，S436，則過(guò)點(diǎn)P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是()A(，2) B(1，1)C(，1) D(2，)解析：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則有，解得d4，于是直線PQ的斜率kd4，故直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是(，2)答案：A3(2020·福州模擬)等差數(shù)列中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是()A156 B52C26 D13解析：a3a52a4，a7a10a133a10，6(a4a10)24，a4a104，S1326.答案：C4已知數(shù)列an，bn滿(mǎn)足a11，且an，an1是函數(shù)f(x)x2bnx2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b10等于()A24 B32C48 D64解析：依題意有anan12n，所以an1an22n1，兩式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比數(shù)列，a2，a4，a6，也成等比數(shù)列，而a11，a22，所以a102×2432，a111×2532，又因?yàn)閍nan1bn，所以b10a10a1164.答案：D5已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an，則數(shù)列an的最大項(xiàng)為()A第7項(xiàng) B第8項(xiàng)C第7項(xiàng)或第8項(xiàng) D不存在解析：由于an，而函數(shù)f(x)x在(0，)上遞減，在(，)上遞增，且f(7)7，f(8)8，所以f(8)<f(7)故a8>a7，從而數(shù)列an的最大項(xiàng)為第8項(xiàng)答案：B6氣象學(xué)院用3.2萬(wàn)元買(mǎi)了一臺(tái)天文觀測(cè)儀，已知這臺(tái)觀測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(nN*)，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了()A600天 B800天C1000天 D1200天解析：由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(nN*)，可以得出觀測(cè)儀的整個(gè)耗資費(fèi)用，由平均費(fèi)用最少而求得最小值成立時(shí)的相應(yīng)n的值設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)n800.答案：B二、填空題(共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分)7已知等差數(shù)列an的公差d0，它的第1、5、17項(xiàng)順次成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是_解析：由題知aa1·a17，即a(a54d)·(a512d)，8a5d48d20，d0，a56d，公比q3.答案：38設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱(chēng)該數(shù)列為“和等比數(shù)列”，若數(shù)列cn是首項(xiàng)為2，公差為d(d0)的等差數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d_.解析：由題意可知，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，前2n項(xiàng)和為S2n，所以22，所以當(dāng)d4時(shí)，為非零常數(shù)答案：49正整數(shù)按下列方法分組：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：03,13，13,23，23,33，33,43，記第n組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為Bn，則AnBn_.解析：由題意知，前n組共有135(2n1)n2個(gè)數(shù)，所以第n1組的最后一個(gè)數(shù)為(n1)2，第n組的第一個(gè)數(shù)為(n1)21，第n組共有2n1個(gè)數(shù)，所以根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得An(2n1)(n1)2n(2n1)，而B(niǎo)nn3(n1)3，所以AnBn2n3.答案：2n3三、解答題10某市投資甲、乙兩個(gè)工廠，2020年兩工廠的年產(chǎn)量均為100萬(wàn)噸在今后的若干年內(nèi)，甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬(wàn)噸，乙工廠第n年比上一年增加2n1萬(wàn)噸，記2020年為第一年，甲、乙兩工廠第n年的年產(chǎn)量分別記為an，bn.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若某工廠年產(chǎn)量超過(guò)另一工廠年產(chǎn)量的2倍，則將另一工廠兼并，問(wèn)到哪一年底其中一個(gè)工廠被另一工廠兼并解：(1)由題意可知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1100，公差d10，所以an10n90，因?yàn)閎nbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以bn1002222n12n98(n2)，b1也滿(mǎn)足上式，所以bn2n98.(2)當(dāng)n5時(shí)， anbn且an<2bn，當(dāng)n6時(shí)，an<bn，所以甲工廠有可能被乙工廠兼并，2an<bn，即2(10n90)<2n98，得n8，故2020年底甲工廠將被乙工廠兼并11設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足條件：a18，a20，a37，且數(shù)列an1an(nN*)是等差數(shù)列(1)設(shè)cnan1an，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2)求Sn|c1|c2|cn|的值；(3)數(shù)列an的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)的值解：(1)因?yàn)閿?shù)列an1an是等差數(shù)列，首項(xiàng)c1a2a18，公差d(70)(08)1，所以cn8(n1)·1n9， 即cnn9，nN*.(2)令n9>0，得n>9，所以，當(dāng)n9，nN*時(shí)，Sn(c1)(c2)(cn)n；當(dāng)n>9，nN*時(shí)，SnS9c10cn36(n9).(3)由(1)得：anan1n10(nN*，n>1)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n10)(n11)(8)8(n1)8(n219n)17(n)2.所以當(dāng)n9或n10時(shí)，an的值最小，即第9項(xiàng)和第10項(xiàng)為數(shù)列an的最小項(xiàng)，最小項(xiàng)的值為28.12已知函數(shù)f(x)lnxx2ax.(1)若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)an1(nN*)，求證：3(a1a2an)aaa<ln(n1)2n.解：(1)函數(shù)f(x)lnxx2ax(x>0)，則f(x)2xa(x>0)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以f(x)0在(0，)上恒成立，即2xa0在(0，)上恒成立所以2xa.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，2x2.當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時(shí)等號(hào)成立所以a2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2(2)證明：令a3，則f(x)lnxx23x.f(x)2x3.當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(1，)上是增函數(shù)所以f(1)>f(1)2.所以ln(1)(1)23(1)>2.所以3(1)(1)2<2ln(1)即3ana<2ln(1)所以3a1a<2ln(11)，3a2a<2ln(1)，3a3a<2ln(1)，3ana<2ln(1)，將以上各式左右兩邊分別相加，得3(a1a2an)aaa<(2ln)(2ln)(2ln)2nln(n1)故所證不等式成立