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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 是等差數(shù)列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，求數(shù)列的通項．
解:由已知得， 即 ，
解得或 或
經(jīng)驗證 或 均滿足題意，即為所求．
例2 設(shè)f(x)＝(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)求數(shù)列{bn}的前n項和．
解：(1)證明：an＋1＝f(an)＝＝，
∴＝＋，即－＝.
∴是首項為1，公差為的等差數(shù)列．
(2)由(1)知是等差數(shù)列，
∴＝1＋(n－1).整理得an＝.
(3
2、)bn＝an·an＋1＝·＝a2.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，
則Tn＝a2
＝a2＝a2·＝.
∴數(shù)列{bn}的前n項和為.
創(chuàng)新題型
1.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)設(shè)bn＝.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
2.已知數(shù)列{an}中，a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
3．已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為b，
3、且不等式log2(ax2－3x＋6)＞2的解集為{x|x＜1或x＞b}．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式Sn；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
參考答案
1.【解析】 (1)證明：由已知an＋1＝2an＋2n得
bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝n，
即an＝n·2n－1，
Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，
兩邊同乘以2得2Sn＝2＋2·22＋…＋n·2n，
兩式相減得Sn＝－1－21－22－…－
4、2n－1＋n·2n
＝－(2n－1)＋n·2n
＝(n－1)2n＋1.
2【解析】 (1)∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)方法一：假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列，
設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，則有2b2＝b1＋b3，
∴2×＝＋，
∴＝＋.
解得λ＝－1.
事實上，bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
綜上可知，存在實數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
方法二：假設(shè)存在實數(shù)λ，使得為等差數(shù)列．
設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，
則有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n
5、∈N*)．
∴2×＝＋.
∴λ＝4an＋1－4an－an＋2
＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)
＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.
綜上可知，存在實數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
3.【解析】 (1)∵不等式log2(ax2－3x＋6)＞2可轉(zhuǎn)化為ax2－3x＋2＞0，
所給條件表明：ax2－3x＋2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，根據(jù)不等式解集的性質(zhì)可知：
方程ax2－3x＋2＝0的兩根為x1＝1，x2＝b.
利用根與系數(shù)的關(guān)系不難得出a＝1，b＝2.
由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝n2.
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