專題二函數與導數第3講導數及其應用真題試做1(2020·遼寧高考，文8)函數yx2ln x的單調遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)2(2020·遼寧高考，文12)已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為()A1 B3 C4 D83(2020·天津高考，文20)已知函數f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數f(x)在區(qū)間(2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當a1時，設函數f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數g(t)在區(qū)間3，1上的最小值考向分析文科用從近三年高考來看，該部分高考命題有以下特點：從內容上看，考查導數主要有三個層次：(1)導數的概念、求導公式與法則、導數的幾何意義；(2)導數的簡單應用，包括求函數極值、求函數的單調區(qū)間、證明函數的單調性等；(3)導數的綜合考查，包括導數的應用題以及導數與函數、不等式等的綜合題從形式上看，考查導數的試題有選擇題、填空題、解答題，有時三種題型會同時出現(xiàn)熱點例析熱點一導數的幾何意義【例1】(2020·安徽高考，文17)設定義在(0，)上的函數f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx，求a，b的值規(guī)律方法 1.導數的幾何意義：函數yf(x)在x0處的導數f(x0)的幾何意義是：曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)2求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數yf(x)在點xx0的導數f(x0)，即曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處切線的斜率；(2)已知或求得切點坐標P(x0，f(x0)，由點斜式得切線方程為yy0f(x0)(xx0)特別提醒：當曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時導數不存在)時，由切線定義可知，切線方程為xx0；當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解變式訓練1 (1)設曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a_；文科用(2)設f(x)xln x1，若f(x0)2，則f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為_熱點二利用導數研究函數的單調性【例2】文科用已知函數f(x)x2aln x.(1)當a2時，求函數f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)若函數g(x)f(x)在1，)上單調，求實數a的取值范圍規(guī)律方法 利用導數研究函數單調性的一般步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導函數f(x)；(3)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只需在函數f(x)的定義域內解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知函數的單調性求參數，只需轉化為不等式f(x)0或f(x)0在單調區(qū)間內恒成立問題求解解題過程中要注意分類討論；函數單調性問題以及一些相關的逆向問題，都離不開分類討論思想變式訓練2 已知函數f(x)xa(2ln x)，a0.討論f(x)的單調性熱點三利用導數研究函數極值和最值問題已知函數f(x)x3ax23x，【例3】(1)若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數，求實數a的取值范圍；(2)若x是f(x)的極值點，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的條件下，是否存在實數b，使得函數g(x)bx的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由規(guī)律方法 利用導數研究函數極值的一般步驟是：(1)確定函數的定義域；(2)求函數f(x)的導數f(x)；(3)若求極值，則先求出方程f(x)0的根，再檢驗f(x)在方程根左右邊f(xié)(x)的符號，求出極值當根中有參數時要注意分類討論根是否在定義域內若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況，從而求解文科用變式訓練3 設aR，函數f(x)ax33x2.(1)若x2是函數yf(x)的極值點，求a的值；(2)若函數g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0處取得最大值，求a的取值范圍思想滲透轉化與化歸思想的含義轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種數學方法一般是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題轉化與化歸常用的方法是等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價問題，以達到化歸的目的已知函數f(x)x(ln xm)，g(x)x3x.(1)當m2時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若m時，不等式g(x)f(x)恒成立，求實數a的取值范圍解：(1)當m2時，f(x)x(ln x2)xln x2x，定義域為(0，)，且f(x)ln x1.由f(x)0，得ln x10，所以xe.由f(x)0，得ln x10，所以0xe.故f(x)的單調遞增區(qū)間是(e，)，遞減區(qū)間是(0，e)(2)當m時，不等式g(x)f(x)，即x3xx恒成立由于x0，所以x21ln x，即x2ln x，所以a .令h(x) ，則h(x)，由h(x)0得x1.且當0x1時，h(x)0；當x1時，h(x)0，即h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，所以h(x)在x1處取得極大值h(1)，也就是函數h(x)在定義域上的最大值因此要使a恒成立，需有a，此即為a的取值范圍1.已知函數f(x)的導函數為f(x)，且滿足f(x)3xf(1)x2，則f(1)()A1 B2 C1 D22曲線y在點M處的切線的斜率為()A B. C D.3已知函數yf(x)是定義在R上的奇函數，且當x0時，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，blog3f(log3)，clog3f，則a，b，c間的大小關系是()Aabc BcbaCcab Dacb4(2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考，文10)已知定義在實數集R上的函數f(x)滿足f(1)1，且f(x)的導數f(x)在R上恒有f(x)(xR)，則不等式f(x2)的解集為()A(1，) B(，1) C(1,1) D(，1)(1，)5三次函數f(x)，當x1時有極大值4；當x3時有極小值0，且函數圖象過原點，則f(x)_.6已知函數f(x)x33x29xa(a為常數)在區(qū)間2,2上有最大值20，那么此函數在區(qū)間2,2上的最小值為_7已知函數f(x)axln x(aR)(1)若a1，求曲線yf(x)在x處切線的斜率；(2)求函數f(x)的單調區(qū)間；(3)設g(x)2x，若對任意x1(0，)，存在x20,1，使f(x1)g(x2)，求實數a的取值范圍參考答案命題調研·明晰考向真題試做1B解析：對函數yx2ln x求導，得yx(x0)，令解得x(0,1因此函數yx2ln x的單調遞減區(qū)間為(0,1故選B.2C解析：如圖所示，由已知可設P(4，y1)，Q(2，y2)，點P，Q在拋物線x22y上，P(4,8)，Q(2,2)，又拋物線可化為yx2，yx，過點P的切線斜率為y4，過點P的切線為y84(x4)，即y4x8.又過點Q的切線斜率為y2，過點Q的切線為y22(x2)，即y2x2.聯(lián)立解得x1，y4，點A的縱坐標為4.3解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00F(x)極大值極小值故函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調遞減區(qū)間是(1，a)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內單調遞增，在區(qū)間(1,0)內單調遞減，從而函數f(x)在區(qū)間(2,0)內恰有兩個零點當且僅當解得0a.所以，a的取值范圍是.(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調遞增，在1,1上單調遞減，在1,2上單調遞增當t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調遞增，在1，t3上單調遞減因此，f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調遞增，因此f(t)f(2)，所以g(t)在3，2上的最小值為g(2).當t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】 解：(1)(方法一)由題設和均值不等式可知，f(x)axb2b，其中當且僅當ax1時，等號成立，即當x時，f(x)取最小值為2b.(方法二)f(x)的導數f(x)a，當x時，f(x)0，f(x)在上遞增；當0x時，f(x)0，f(x)在上遞減所以當x時，f(x)取最小值為2b.(2)f(x)a.由題設知，f(1)a，解得a2或a(不合題意，舍去)將a2代入f(1)ab，解得b1.所以a2，b1.【變式訓練1】 (1)1解析：yax2，y2ax，y|x12a.又yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，2a2，a1.(2)2xye10解析：因為f(x)xln x1，所以f(x)ln xx·ln x1.因為f(x0)2，所以ln x012，解得x0e，y0e1.由點斜式得，f(x)在點(e，e1)處的切線方程為y(e1)2(xe)，即2xye10.文科用【例2】 解：(1)由題意知，函數的定義域為(0，)，當a2時，f(x)2x，故f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,1)(2)由題意得g(x)2x，函數g(x)在1，)上是單調函數若g(x)為1，)上的單調增函數，則g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，設(x)2x2，(x)在1，)上單調遞減，(x)max(1)0，a0.若g(x)為1，)上的單調減函數，則g(x)0在1，)上恒成立，不可能實數a的取值范圍為a0.【變式訓練2】 解：f(x)的定義域是(0，)，f(x)1.設g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當0即0a2時，對一切x0都有f(x)0.此時f(x)是(0，)上的單調遞增函數當0即a2時，僅對x有f(x)0，對其余的x0都有f(x)0.此時f(x)也是(0，)上的單調遞增函數當0即a2時，方程g(x)0有兩個不同的實根x1，x2，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增此時f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增【例3】 解：(1)f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函數，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立，則必有1且f(1)2a0.a0.(2)依題意，f0，即a30.a4，f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.則當x變化時，f(x)與f(x)變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函數g(x)bx的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x34x23xbx恰有3個不等實根x34x23xbx0，x0是其中一個根，方程x24x3b0有兩個非零不等實根b7且b3.存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b7且b3.【變式訓練3】 解：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因為x2是函數yf(x)的極值點，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.經驗證，當a1時，x2是函數yf(x)的極值點(2)由題設，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)當g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)時，g(0)g(2)，即020a24，得a.反之，當a時，對任意x0,2，g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)綜上，a的取值范圍為.創(chuàng)新模擬·預測演練1.A解析：f(x)3f(1)2x，令x1，得f(1)3f(1)2，f(1)1.故選A.2B解析：對y求導得y，當x時，y|x.3C解析：設g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)0，當x0時，g(x)xf(x)為減函數又g(x)為偶函數，當x0時，g(x)為增函數130.32,0log31，log32，g(2)g(30.3)g(log3)，即cab，故選C.4D解析：f(x)對xR恒成立，令g(x)f(x)x，可知g(x)f(x)0對xR恒成立，即g(x)在R上遞減，且g(1)f(1).f(x2)可轉化為f(x2)，即g(x2)g(1)，x21，得x1或x1.5x36x29x解析：設f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)3ax22bxc.由題意，有即解得故f(x)x36x29x.67解析：f(x)3x26x90，得x1或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值為f(1)7.7解：(1)f(x)1(x0)，f123.故曲線yf(x)在x處切線的斜率為3.(2)f(x)a(x0)當a0時，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)；當a0時由f(x)0，得x，在區(qū)間上f(x)0，在區(qū)間上f(x)0.所以，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(3)由題可知，若對任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，轉化為f(x)maxg(x)max，而g(x)max2.由(2)知，當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增，值域為R，故不符合題意(或者舉出反例：存在f(e3)ae332，故不符合題意)當a0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，故f(x)的極大值即為最大值，f1ln1ln(a)，所以21ln(a)，解得a.所以，a的取值范圍為.