歷年高考真題考點歸納 2020年 第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線2三、解答題1.（2020上海文）23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點.（1）若點滿足，求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；（3）設(shè)點在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，點的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的坐標(biāo).解析：(1) ；(2) 由方程組，消y得方程，因為直線交橢圓于、兩點，所以D>0，即，設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標(biāo)為(x0,y0)，則，由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p，又因為，所以，故E為CD的中點；(3) 因為點P在橢圓內(nèi)且不在x軸上，所以點F在橢圓內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程，直線OF的斜率，直線l的斜率，解方程組，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)2.（2020湖南文）19.（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖4）。考察范圍到A、B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域。（I） 求考察區(qū)域邊界曲線的方程：（II） 如圖4所示，設(shè)線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍。問：經(jīng)過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？3.（2020浙江理）(21) （本題滿分15分）已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點. （）當(dāng)直線過右焦點時，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點，的重心分別為.若原點在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （）解：因為直線經(jīng)過，所以,得，又因為，所以，故直線的方程為。（）解：設(shè)。 由，消去得 則由，知，且有。由于，故為的中點，由，可知設(shè)是的中點，則，由題意可知即即而 所以即又因為且所以。所以的取值范圍是。4.（2020全國卷2理）（21）（本小題滿分12分） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為 （）求C的離心率； （）設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關(guān)系，既考查考生的基礎(chǔ)知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力.【參考答案】【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定.5.（2020陜西文）20.（本小題滿分13分）（）求橢圓C的方程； ()設(shè)n 為過原點的直線，l是與n垂直相交與點P，與橢圓相交于A,B兩點的直線 立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請說明理由。6.（2020遼寧文）（20）（本小題滿分12分） 設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓 相交于,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為.（）求橢圓的焦距；（）如果,求橢圓的方程.解：（）設(shè)焦距為，由已知可得到直線l的距離所以橢圓的焦距為4.（）設(shè)直線的方程為聯(lián)立解得因為即得故橢圓的方程為7.（2020遼寧理）(20)（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.解：設(shè)，由題意知0，0.（）直線l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因為，所以.即 得離心率 . 6分（）因為，所以.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分8.（2020全國卷2文）（22）（本小題滿分12分）已知斜率為1的直線1與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1.3）（）（）求C的離心率；（）（）設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|=17證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切。【解析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識，考查學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題的能力。（1）由直線過點（1，3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于BD兩點的中點為（1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標(biāo)公式找出A,B的關(guān)系式即求得離心率。（2）利用離心率將條件|FA|FB|=17，用含A的代數(shù)式表示，即可求得A，則A點坐標(biāo)可得（1，0），由于A在X軸上所以，只要證明2AM=BD即證得。（2020江西理數(shù)）21. （本小題滿分12分）設(shè)橢圓，拋物線。（1） 若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率；（2） 設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個交點，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程?！窘馕觥靠疾闄E圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認(rèn)方程。（1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對稱，設(shè),由的垂心為B，有。 由點在拋物線上，解得：故，得重心坐標(biāo). 由重心在拋物線上得：，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。9.（2020安徽文數(shù)）17、（本小題滿分12分）橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程。【命題意圖】本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識；考查解析幾何的基本思想、綜合運算能力.【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)橢圓方程為，把點代入橢圓方程，把離心率用表示，再根據(jù)，求出，得橢圓方程；（2）可以設(shè)直線l上任一點坐標(biāo)為，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等得.解：（）設(shè)橢圓E的方程為【規(guī)律總結(jié)】對于橢圓解答題，一般都是設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題目滿足的條件求出，得橢圓方程，這一問通常比較簡單；（2）對于角平分線問題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程.10.（2020重慶文數(shù)）（21）（本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分. ）已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（）如題（21）圖，已知過點的直線：與過點（其中）的直線：的交點在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，求的值. 11.（2020浙江文）（22）、（本題滿分15分）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p>0）的焦點F在直線上。（I）若m=2，求拋物線C的方程（II）設(shè)直線與拋物線C交于A、B，A,的重心分別為G,H求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外。12.（2020重慶理）（20）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分）已知以原點O為中心，為右焦點的雙曲線C的離心率。（I） 求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（II） 如題（20）圖，已知過點的直線與過點（其中）的直線的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點，求的面積。13.（2020北京文）（19）（本小題共14分）已知橢圓C的左、右焦點坐標(biāo)分別是，離心率是，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。（）求橢圓C的方程；（）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；（）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動點，當(dāng)t變化時，求y的最大值。解：（）因為，且，所以所以橢圓C的方程為（）由題意知由 得所以圓P的半徑為解得 所以點P的坐標(biāo)是（0，）（）由（）知，圓P的方程。因為點在圓P上。所以設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2.14.（2020北京理）（19）（本小題共14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（I）解：因為點B與A關(guān)于原點對稱，所以點得坐標(biāo)為. 設(shè)點的坐標(biāo)為 由題意得 化簡得 . 故動點的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點的坐標(biāo)為，點，得坐標(biāo)分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積 又直線的方程為，點到直線的距離.于是的面積 當(dāng)時，得又，所以=，解得。因為，所以故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標(biāo)為.解法二：若存在點使得與的面積相等，設(shè)點的坐標(biāo)為 則. 因為, 所以 所以 即 ，解得 因為，所以 故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標(biāo)為.15.（2020四川理）（20）（本小題滿分12分）已知定點A(1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由. 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識，考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運算能力.解：(1)設(shè)P(x,y)，則化簡得x2=1(y0)4分(2)當(dāng)直線BC與x軸不垂直時，設(shè)BC的方程為yk(x2)(k0)與雙曲線x2=1聯(lián)立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由題意知3k20且0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4) 因為x1、x21所以直線AB的方程為y(x1)因此M點的坐標(biāo)為(),同理可得因此 0當(dāng)直線BC與x軸垂直時，起方程為x2，則B(2,3),C(2,3)AB的方程為yx1,因此M點的坐標(biāo)為()，同理可得因此0綜上0，即FMFN故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點F12分16.（2020天津文）（21）（本小題滿分14分）已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標(biāo)為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分14分. （）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由題意可知，即ab=2.解方程組得a=2，b=1. 所以橢圓的方程為.()(i)解：由（）可知點A的坐標(biāo)是（-2,0）.設(shè)點B的坐標(biāo)為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得.由，得.從而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直線l的傾斜角為或.（ii）解：設(shè)線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標(biāo)為.以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是由，得。（2）當(dāng)時，線段AB的垂直平分線方程為。令，解得。由，整理得。故。所以。綜上，或17.（2020天津理）（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標(biāo)為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上18.（2020廣東理） 21（本小題滿分14分）設(shè)A(),B()是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點，先定義由點A到點B的一種折線距離p(A,B)為.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即三點共線時等號成立.（2）當(dāng)點C(x, y) 同時滿足P+P= P，P= P時，點是線段的中點. ，即存在點滿足條件。19.（2020廣東理）20（本小題滿分為14分） 一條雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點。 （1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式； （2）若過點H(0, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值。故，即。（2）設(shè)，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個交點知，即。同理，由與E只有一個交點知，消去得，即，從而，即。20.（2020廣東文）21.（本小題滿分14分）已知曲線,點是曲線上的點，21.（2020福建文）19（本小題滿分12分）已知拋物線C：過點A （1 , -2）。（I）求拋物線C 的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由。22.（2020全國卷1理）（21）(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關(guān)于軸的對稱點為D.（）證明：點F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .23.（2020湖北文）20.（本小題滿分13分）已知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。（）求曲線C的方程（）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。24.（2020山東理）（21）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。【命題意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力， 25.（2020湖南理）19.（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地。視冰川面為平面形，以過A,B兩點的直線為x軸，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過km區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過km區(qū)域。（）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（）如圖6所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間?；?融區(qū)域P3(8,6)已冰B（4，0）A（-4,0）x（，-1）P126.（2020湖北理）19(本小題滿分12分)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.()求曲線C的方程；（）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。27.（2020安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程；()在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。28.（2020江蘇卷）18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標(biāo)為。（3）點T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。