2.2.1　等差數(shù)列(一) 明目標(biāo)、知重點　1.理解等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項公式.2.會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，能運用等差數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差中項的概念，深化認(rèn)識并能運用． 1．等差數(shù)列的概念 如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的差等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 2．等差中項 如果三個數(shù)x、A、y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的 ，且A＝. 3．等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則其通項an＝ 4．等差數(shù)列的單調(diào)性 等差數(shù)列{an}中，若公差d>0，則數(shù)列{an}為 數(shù)列；若公差d<0，則數(shù)列{an}為 數(shù)列． 探究點一　等差數(shù)列的概念 思考1　下面我們來看這樣的一些數(shù)列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360. 以上四個數(shù)列有什么共同的特征？請同學(xué)們互相討論． 思考2　具有思考1中這些數(shù)列特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列，那么，如何給等差數(shù)列下個定義？ 思考3　如何列用數(shù)學(xué)語言來描述等差數(shù)列的定義？ 思考4　思考1中的四個等差數(shù)列的公差分別是什么？ 小結(jié)　對于一個數(shù)列，當(dāng)an－an－1＝d(n≥2)中的d為常數(shù)，該數(shù)列為等差數(shù)列，否則不是等差數(shù)列． 當(dāng)d>0時，an>an－1，該數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d＝0時，an＝an－1，該數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)d<0時，an<an－1，該數(shù)列為遞減數(shù)列． 例1　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－5，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？ 反思與感悟　判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷an＋1－an(n≥1)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練1　數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5，則此數(shù)列(　　) A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公差為5的等差數(shù)列 C．是首項為5的等差數(shù)列 D．是公差為n的等差數(shù)列 探究點二　等差數(shù)列的通項 思考1　若一個等差數(shù)列{an}，首項是a1，公差為d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4，…，然后觀察規(guī)律，歸納概括出通項公式an. 思考2　由等差數(shù)列的定義知an－an－1＝d(n≥2)，利用此關(guān)系式如何得到等差數(shù)列的通項公式？ 例2　已知等差數(shù)列10,7,4，…： (1)試求此數(shù)列的第10項； (2)－40是不是這個數(shù)列的項？－56是不是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？ 反思與感悟　(1)在等差數(shù)列{an}中，首項a1及公差d稱為基本量． (2)通項公式an＝a1＋(n－1)d中有四個量a1，d，n，an，求解過程中反映了“知三求一”的方程思想． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項； (2)判斷－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項？如果是，是第幾項？ 探究點三　等差中項 思考1　觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0. 思考2　如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項，試用x，y表示A. 例3　在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列． 反思與感悟　在等差數(shù)列{an}中，由定義有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，從而由等差中項的定義知，等差數(shù)列從第2項起的每一項都是它前一項與后一項的等差中項． 跟蹤訓(xùn)練3　若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項． 1．已知等差數(shù)列{an}的通項公式an＝3－2n，則它的公差d為(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 2．△ABC中，三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則角B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 3．一個等差數(shù)列的前4項是a，x，b,2x，則等于(　　) A. B. C. D. 4．等差數(shù)列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值． [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1．判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的常用方法有： (1)an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列； (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列； (3)an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列． 但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個反例即可． 2．由等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項a1和公差d，就可以求出通項公式，反過來，在a1、d、n、an四個量中，只要知道其中任意三個量，就可以求出另一個量． 2.2.1　等差數(shù)列（一） 【強化訓(xùn)練】 一、基礎(chǔ)過關(guān) 1．若a≠b，則等差數(shù)列a，x1，x2，b的公差是(　　) A．b－a B. C. D. 2．已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 3．等差數(shù)列20,17,14,11，…中第一個負(fù)數(shù)項是(　　) A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項 4．若5，x，y，z,21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 5.－1與＋1的等差中項是________． 6．一個等差數(shù)列的前三項為：a,2a－1,3－a.則這個數(shù)列的通項公式為________． 7．若{an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75. 二、能力提升 8．若數(shù)列{an}滿足3an＋1＝3an＋1，則數(shù)列是(　　) A．公差為1的等差數(shù)列B．公差為的等差數(shù)列 C．公差為－的等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列 9．已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值是(　　) A．15 B．30 C．31 D．64 10．首項為－24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是________． 11．甲蟲是行動較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度： 時間t(s) 1 2 3 … ？ … 60 距離s(cm) 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？ (1)你能建立一個等差數(shù)列的模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關(guān)系嗎？ (2)利用建立的模型計算，甲蟲1 min能爬多遠(yuǎn)？它爬行49 cm需要多長時間？ 12．梯子的最高一級寬33 cm，最低一級寬110 cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度． 三、探究與拓展 13．已知等差數(shù)列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N＋)是{an}中的項嗎？試說明理由． (2)若ap，aq(p，q∈N＋)是數(shù)列{an}中的項，則2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的項嗎？并說明你的理由．