(時間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)1已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東10° D南偏西10°解析：如圖所示，由已知ACB180°40°60°80°，又ACBC，AABC50°，60°50°10°.燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.答案：B2在200 m高的山頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為()A. m B. mC. m D. m解析：在RtAHD中，HD200，HDA30°，AHHDtan30°，在RtAHC中，AC，在ACD中，CDAC.答案：A3鈍角三角形的三邊長為a，a1，a2，其最大角不超過120°，則a的取值范圍是()A0<a<3 B.a<3C2<a3 D1a<解析：a，a1，a2是鈍角三角形的三邊長，由大邊對大角可知，邊長a2的邊對應(yīng)的角最大由余弦定理可得0>cos.a<3.答案：B4(2020·日照模擬)輪船A和輪船B在中午12時離開海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B的航行速度是15海里/小時，下午2時兩船之間的距離是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析：設(shè)輪船A、B航行到下午2時時所在的位置分別是E、F，則依題意有CE25×250，CF15×230，且ECF120°，EF70，因此選D.答案：D5某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為()A. B2C.或2 D3解析：如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30°，由正弦定理，得CAB60°或120°，當(dāng)CAB60°時，ACB90°，AB2；當(dāng)CAB120°時，ACB30°，AB.答案：C6有一山坡，坡角為30°，若某人在斜坡的平面上沿著一條與山坡底線成30°角的小路前進一段路后，升高了100米，則此人行走的路程為()A300 m B400 mC200 m D200 m解析：如圖，AD為山坡底線，AB為行走路線，BC垂直水平面則BC100，BDC30°，BAD30°，BD200，AB2BD400 米答案：B二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40°處，A、B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為_ km.解析：如圖，由題意可得，ACB120°，AC2，AB3.設(shè)BCx，則由余弦定理可得：AB2BC2AC22BC·ACcos120°，即3222x22×2xcos120°，整理得x22x5，解得x1.答案：18如圖，在玉樹地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進x m到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進10 m到達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么x_.解析：由題知，CBA75°，BCA45°，BAC180°75°45°60°，x.答案：9.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頭上各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM100米和BN200米，在水平面上有一條公路為西偏北30°方向，公路上有一測量車在小山M的正南方向點P處，在點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，汽車沿公路向西偏北30°方向行駛了100米后在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為，且BQA，經(jīng)測量tan2，則兩發(fā)射塔頂A，B的直線距離為_解析：在RtAMP中，APM30°，AM100，PM100，連接QM，在PQM中，QPM60°，又PQ100，PQM為等邊三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2得AQ200，又在RtBNQ中，tan2，BN200，BQ100，cos，在BQA中，BA2BQ2AQ22BQ·AQcos(100)2，BA100.即A，B兩塔頂間的直線距離是100米答案：100米三、解答題(共3小題，滿分35分)10.如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)解：在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1 km，又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.在ABC中，即AB km，因此，BD km0.33 km，故B、D的距離約為0.33 km.11.為撲滅某著火點，現(xiàn)場安排了兩支水槍，如圖，D是著火點，A、B分別是水槍位置，已知AB15米，在A處看到著火點的仰角為60°，ABC30°，BAC105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？解：在ABC中，可知ACB45°，由正弦定理得：，解得AC15米又CAD60°，AD30，CD15，sin105°sin(45°60°).由正弦定理得：，解得BC米由勾股定理可得BD15米，綜上可知兩支水槍的噴射距離至少分別為30米，15米12.如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C.景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向上8 km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上，已知AB5 km.(1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；(2)求景點C和景點D之間的距離解：(1)在ABD中，ADB30°，AD8 km，AB5 km，設(shè)DBx km，則由余弦定理得5282x22×8×x·cos30°，即x28x390，解得x4±3.43>8，舍去，x43，這條公路長為(43)km.(2)在ADB中，sinDAB，cosDAB.在ACD中，ADC30°75°105°，sinACDsin180°(DAC105°)sin(DAC105°)sinDACcos105°cosDACsin105°··.在ACD中，CD km.