第六節(jié) 差分方程第1頁，共21頁。xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy 12112122)()()()(,)(即即差差分分的的一一階階差差分分的的的的二二階階差差分分為為函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù).以以上上的的差差分分高高階階差差分分：二二階階及及二二階階 3yx = ( 2yx)= yx+3 3yx+2 +3 yx+1 yx第2頁，共21頁。解解，則則設(shè)設(shè)2xy 12)1()(222 xxxxyx 2)12(1)1(2)12()(222 xxxxyx022)(233 xyx第3頁，共21頁。解解例例 2 2 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的差差分分 axyxyasin)2(;log) 1 ( );11(loglog)1(log)1(1xxxyyyaaaxxx .2sin)21(cos2sin)1(sin)2(axaaxxayx 第4頁，共21頁。)()()1(為為常常數(shù)數(shù)CyCCyxx xxxxzyzy )()2( xxxxxxxxxxyzzyyzzyzy 113可參照導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么學(xué)習(xí)可參照導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么學(xué)習(xí)第5頁，共21頁。 差分方程的根本概念差分方程的根本概念1.差分方程與差分方程的階差分方程與差分方程的階.,2稱稱為為差差分分方方程程的的函函數(shù)數(shù)方方程程含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)的的差差分分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxF形式：形式：定義定義第6頁，共21頁。定義：定義：.,1的的方方程程，稱稱為為差差分分方方程程個個以以上上時時期期的的符符號號含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)兩兩個個或或兩兩 xxyy)1(0),(0),(11 nyyyxGyyyxFnxxxnxxx或或形形式式：.稱稱為為差差分分方方程程的的階階大大值值與與最最小小值值的的差差方方程程中中未未知知數(shù)數(shù)下下標(biāo)標(biāo)的的最最第7頁，共21頁。 注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。是三階差分方程；是三階差分方程；如如0234235 xxxyyy. 0133112 tttyyyxt，即即可可寫寫成成事事實實上上，作作變變量量代代換換程，程，但實際上是二階差分方但實際上是二階差分方，雖然含有三階差分，雖然含有三階差分，013 xxyy，因此它是二階差分方程因此它是二階差分方程由于該方程可以化為由于該方程可以化為0133123 xxxyyy第8頁，共21頁。解解，33)1( xx，6)4(2)2( xx是三階差分方程；是三階差分方程；)1(.)2(是是六六階階差差分分方方程程第9頁，共21頁。2.差分方程的解差分方程的解.)(該該差差分分方方程程的的解解邊邊恒恒等等，則則稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為兩兩代代入入差差分分方方程程后后，方方程程如如果果函函數(shù)數(shù)xy 含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)一樣的差分方程的解階數(shù)一樣的差分方程的解. .差分方程的通解差分方程的通解第10頁，共21頁。為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件所附加的條件. .通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解. .初始條件初始條件差分方程的特解差分方程的特解第11頁，共21頁。階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的構(gòu)造階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的構(gòu)造 1111x nx nnxnxya yaya yf x 2由此可見，要求出由此可見，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程階常系數(shù)非齊次線性差分方程2的通解，只需求出的通解，只需求出1的通解和的通解和2的一個特解即可的一個特解即可.11110 x nx nnxnxya yaya y 1第12頁，共21頁。一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式 1 2 .21次次線線性性差差分分方方程程所所對對應(yīng)應(yīng)的的一一階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊為為注注：)0(01為為常常數(shù)數(shù) aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa為為常常數(shù)數(shù)，一階常系數(shù)線性差分方程的解法一階常系數(shù)線性差分方程的解法第13頁，共21頁。一一 、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解迭迭代代法法. 1)0(01為為常常數(shù)數(shù) aayyxx 1）依依次次可可得得，為為已已知知，由由方方程程（設(shè)設(shè)10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy 第14頁，共21頁。.100 xxxxCaYCyyay 通通解解為為）的的方方程程（為為任任意意常常數(shù)數(shù)，于于是是差差分分滿滿足足差差分分方方程程，令令容容易易驗驗證證，01yaayyxxx .0211的的通通解解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解為差分方程的通解為第15頁，共21頁。.203201的特解的特解滿足滿足求求例例 yyyxx解解；差分方程的通解為差分方程的通解為xxCY 31031 xxyy原原方方程程可可改改寫寫為為013 特征方程為特征方程為31 特特征征根根220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解為所求差分方程的特解為特征方程法特征方程法第16頁，共21頁。二、二、 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一項項是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次差差，解解一一項項是是該該方方程程的的一一個個特特的的和和組組成成：差差分分方方程程的的通通解解由由兩兩項項一一階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性 .2 xxxyYy）的的通通解解為為即即差差分分方方程程（ 2)(1xfayyxx )00( xfa為為常常數(shù)數(shù)，第17頁，共21頁。(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即綜上討論綜上討論，設(shè)設(shè))(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k 型型xpxfn )(第18頁，共21頁。解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 xxCY2 不是特征方程的根，不是特征方程的根，1，設(shè)設(shè)CBxAxyx 2代入方程代入方程, 得得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解為原方程通解為. 96322 xxCyxx第19頁，共21頁。 型型xpxfnx )(2. 10， 為為方方程程 2 xpayynxxx 1a）（ 1( )xxnyQ xa）（2( )xxnyxQ x例題 教材 208頁 例3，例4第20頁，共21頁。謝謝觀賞！2020/11/521第21頁，共21頁。