專題檢測(cè)（十二） 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例A 組 “ 6 3 3 ”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.利用系統(tǒng)抽樣法從編號(hào)分別為1, 2, 3,，80的80件不同產(chǎn)品中抽出一個(gè)容量為16 的樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號(hào)為13，則抽到產(chǎn)品的最大編號(hào)為（）A.73B.78C.77D.76解析：選B樣本的分段間隔為80二5，所以13號(hào)在第三組，則最大的編號(hào)為13 + （16 -3）X5 二 78.故選 B.2.（2019全國(guó)卷II）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成 績(jī)時(shí),從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與 9 個(gè)原始評(píng)分相比,不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù)B.平均數(shù)C. 方差D. 極差解析：選A中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響.故選A.3.（2019廣東六校第一次聯(lián)考）某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié) 能減排的目標(biāo)，先調(diào)查了用電量y（單位：kWh）與氣溫x（單位：。C）之間的關(guān)系，隨機(jī)選取 了 4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了如下對(duì)照表：C.64 D.6817+ 14+ 10- 124+ 34+ 38+ a 96+ a解析：選c由題意，得x=4=10，y=4 二 廠樣本點(diǎn)的中心（x , y）在回歸直線$二-2x + 60上，代入線性回歸方程可得964工=-20 + 60,解得a二64，故選 C.4.如圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的 2019 年春運(yùn)期間十二個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及 相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（）2 3501500750 0廣輙北杭上：X重西啣廈咸武 州圳京州晦津慶穽京門(mén)都漢 排格 亠讎12就市春運(yùn)往返機(jī)票平均愉樓IOJOO%i3 000"7.5OS- 5,00%150斤0%-2M-5,00*-7.50%10.00%A. 深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B. 深圳和廈門(mén)的春運(yùn)期間往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所下降C. 平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州D. 平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門(mén)解析：選 D 由圖可知深圳對(duì)應(yīng)的小黑點(diǎn)最接近0%，故變化幅度最小，北京對(duì)應(yīng)的條形圖最高，貝歸匕京的平均價(jià)格最高，故A正確；由圖可知深圳和廈門(mén)對(duì)應(yīng)的小黑點(diǎn)在0%以下，故深圳和廈門(mén)的價(jià)格同去年相比有所下降，故 B 正確；由圖可知條形圖由高到低居于 前三位的城市為匕京、深圳和廣州，故 C 正確；由圖可知平均價(jià)格的漲幅由高到低分別為 天津、西安和南京，故D錯(cuò)誤，選D.5.個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列an,若a3 = 8, 且a1，a3, a7成等比數(shù)列，貝V此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.13， 12B.13， 13C.12， 13D.13， 14解析：選 B 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d(dM0) , a3 二 8 , aa7 二 a§ 二 64 , (8 - 2d)(8 + 4d)二 64，即 2d-d2 = 0 ,又 d/0，故 d 二 2，故樣本數(shù)據(jù)為：4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 ,20 , 22 ,平均數(shù)為上氣著空二13，中位數(shù)為二13.乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的近期甲9 8 528 92 130 1 26.（2019.成都市第二次診斷性檢測(cè)）為比較甲、競(jìng)技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場(chǎng)比賽的得分，制成如圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論： 甲最近五場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)； 甲最近五場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)； 從最近五場(chǎng)比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定； 從最近五場(chǎng)比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為()A.B.C.D.解析：選C對(duì)于，甲得分的中位數(shù)為29，乙得分的中位數(shù)為30，錯(cuò)誤；對(duì)于，甲得分的平均數(shù)為|x(25 + 28 + 29 + 31 +32) = 29 ,乙得分的平均數(shù)為|x(28+ 29+ 30+ 31 + 32)二 30 ,正確；對(duì)于，甲得分的方差為|x (25 - 29)2 + (28 - 29)2 + (29 - 29)2 + (31 - 29)2 + (32 - 29)2= *X(16+1+0 + 4 + 9)二6 ,X (28 - 30)2 + (29 - 30)2 + (30 - 30)2 + (31 - 30)2 + (32 - 30)2 = 5 X (4 +1+0 + 1+4) = 2,所以乙比甲更穩(wěn)定，正確，錯(cuò)誤.所以正確結(jié)論的編號(hào)為.二、填空題7.(2019全國(guó)卷II)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.10+ 20+ 10解析：x 二 10 X 0.97 + 20 X 0.98 + 10X 0.99 二 0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.答案： 0.988.(2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a”的方差為則數(shù)據(jù)2a1， 2a2, 2a3，2an的方差為.解析：設(shè)a1 , a2 , a3 ,a”的平均數(shù)為a，則2a1 , 2a2 , 2a3 ,2a”的平均數(shù)為2a ,(竹-a) 2+(a2-a) 2+(a3-a) : + +幺-a ) 2123n_O 2 .n則2a1 , 2a2 , 2a3 ,，2a”的方差為( 2a - 2a) 2+( 2a - 2a) 2+( 2a - 2a) 2+ +( 2a - 2a) 2n(a1-a)2+(a2-a)2+(a3-a)2 + +(a - a) 24 乂 123n二 4西.n答案：429.某新聞媒體為了了解觀眾對(duì)央視開(kāi)門(mén)大吉節(jié)目的喜愛(ài)與性別是否有關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了觀看該節(jié)目的觀眾110名，得到如下的列聯(lián)表：女男總計(jì)喜愛(ài)402060不喜愛(ài)203050總計(jì)6050110試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下 (約有的把握)認(rèn)為“喜愛(ài)該節(jié)目與否和性別有關(guān)”.參考附表：P 心 k°)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參考公式:其中 n=abedn (adbe) 2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解析： 分析列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可得 K2 的觀測(cè)值 k110X (40X30 - 20X20 )260X50X60X50-7.822 >6.635，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01 的前提下(有 99%的把握)認(rèn)為“喜愛(ài)該節(jié)目與否和 性別有關(guān)”.答案： 0.01 99%三、解答題10.(2019全國(guó)卷III)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給 服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì) 值為 0.70.(1) 求乙離子殘留百分比直方圖中a， b的值；(2) 分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代 表).解：(1)由已知得 0.70 二 a+ 0.20+ 0.15，故 a 二 0.35.b 二 1 - 0.05 - 0.15 - 0.70 二 0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2X0.15 + 3X0.20 + 4X0.30 + 5X0.20 + 6X0.10 + 7X0.05=4.05 ,乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.11.某市教育學(xué)院從參加市級(jí)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的考生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其競(jìng)賽成績(jī) (均為整數(shù))分成六段:40, 50), 50, 60), 60, 70),，90, 100,得到如圖所示的頻率分布直方圖.a0.02S0.0150.0100.005(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)參加高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的考生的成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字)；(2)用分層抽樣的方法在各分?jǐn)?shù)段的考生中抽取一個(gè)容量為20的樣本,則各分?jǐn)?shù)段抽取的人數(shù)分別是多少？解：(1)由頻率分布直方圖可知，(0.010 + 0.015 +0.015+ a + 0.025 + 0.005) X 10 二 1 ,所以 a 二 0.03.所以參加高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的考生的成績(jī)的平均數(shù)為45X0.1 +55X0.15 + 65X0.15 + 75X0.3 + 85X0.25 + 95X0.05 二71 ,成績(jī)的眾數(shù)為75 .設(shè)參加高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的考生的成績(jī)的中位數(shù)為x ,貝0 0.1 +0.15+ 0.15 +(x- 70)X0.03 二 0.5，解得x73.3 ,所以中位數(shù)為73.3.20 1(2)因?yàn)楦鲗尤藬?shù)分別為6, 9 , 9 , 18 , 15 , 3 ,各層抽取比例為諾三，所以各分?jǐn)?shù)段抽取人數(shù)依次為2 ， 3， 3， 6， 5， 1.12.(2019沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)某籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為50%,他想提高自己的投籃 水平，制定了一個(gè)夏季訓(xùn)練計(jì)劃，為了了解訓(xùn)練效果，執(zhí)行訓(xùn)練前，他統(tǒng)計(jì)了10場(chǎng)比賽的 得分，計(jì)算出得分的中位數(shù)為15，平均得分為15，得分的方差為46.3.執(zhí)行訓(xùn)練后也統(tǒng)計(jì)了 10場(chǎng)比賽的得分，莖葉圖如圖所示：(1) 請(qǐng)計(jì)算該籃球運(yùn)動(dòng)員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計(jì)的10場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差.(2) 如果僅從執(zhí)行訓(xùn)練前后統(tǒng)計(jì)的各10場(chǎng)比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)分析，你認(rèn)為訓(xùn)練計(jì)劃對(duì)該運(yùn)動(dòng)員的投籃水平的提高是否有幫助？為什么？14+ 15解：(1)訓(xùn)練后得分的中位數(shù)為二145；平均得分為二 15 ；8 + 9 + 12 + 14 + 14 + 15 + 16+18 + 21+231方差為為(8 - 15)2 + (9 - 15)2 + (12 - 15)2 + (14 - 15)2 + (14 - 15)2 + (15 - 15)2 + (16 - 15)2+ (18 - 15)2 + (21 - 15)2 + (23 - 15)2二 20.6.(2)盡管中位數(shù)訓(xùn)練后比訓(xùn)練前稍小，但平均得分一樣，訓(xùn)練后方差20.6小于訓(xùn)練前方 差 46.3，說(shuō)明訓(xùn)練后得分穩(wěn)定性提高了（闡述觀點(diǎn)合理即可），這是投籃水平提高的表現(xiàn).故此 訓(xùn)練計(jì)劃對(duì)該籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃水平的提高有幫助.B 組 大題專攻強(qiáng)化練1.（2019武漢市調(diào)研測(cè)試）一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間有如下一組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.（2）建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程；通過(guò)建立的 y 關(guān)于 x 的回歸方程，估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98 萬(wàn)件時(shí)，產(chǎn)品的總成本為多 少萬(wàn)元？（均精確到0.001）附注：參考數(shù)據(jù)：錯(cuò)誤! =27.31,Sx2 10x20.850,£y?10y2a 1.042, b1.223.參考公式：相關(guān)系數(shù)r I回歸直y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:X石屮一n j： yb= '* a = y b 工.立t? n T2解：（1）由已知條件得，Ar 二 bi 二 1.r= 1.223Xy2042°.998，這說(shuō)明y與x正相關(guān)，且相關(guān)性很強(qiáng).由已知求得x= 1.445 , y二2.731 ,a=y bx = 2.731 - 1.223X,所求回歸直線方程為$二1.223x + 0.964.當(dāng) x=1.98 時(shí)，y = 1.223 X 1.98 + 0.9643.386(萬(wàn)元), 此時(shí)產(chǎn)品的總成本約為3.386萬(wàn)元.2.海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如下:(1) 估計(jì)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于5° kg的概率并估計(jì)新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量的平均值；(2) 填寫(xiě)下面的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方 法有關(guān).箱產(chǎn)量5° kg箱產(chǎn)量三5° kg總計(jì)舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法總計(jì)n (adbe) 2卄',(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中 n=a+b+e+d.P 心 k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+ 0.014+ 0.024+ 0.034+ 0.040)X5二0.62，所以舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的概率估計(jì)值為0.62 ；新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量的平均 值為 37.5X 0.004X 5+ 42.5X 0.020X 5+ 47.5X 0.044X 5+ 52.5X 0.068X 5+ 57.5X 0.046X 5+ 62.5X0.010X5 + 67.5X0.008X5 二52.35.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得2 X 2列聯(lián)表如下：箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量三50 kg總計(jì)舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計(jì)96104200由表中數(shù)據(jù)得K2-15.705 ,200 X ( 62X66 - 34X38 ) 2100X100X96X104由于15.705>6.635 ，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).3.(2019長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收 集了近6個(gè)月廣告投入量x(單位：萬(wàn)元)和收益y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬(wàn)元24681012收益/萬(wàn)元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型y=bx+a,®y=aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘 差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值：11民xyYxi沖7301 464.24364禺差1A一模型 摸型5二汽戸月奮(1) 根據(jù)殘差圖，比較模型，的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由.(2) 殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：(i)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出 中所選模型的回歸方程；(ii)廣告投入量x=18時(shí)，(1)中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少？A A A附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2, y2)，(xn，yn)，其回歸直線尸bx+a的斜率和截距b -=-7* -心.X(:門(mén)r'i-£ 普n y的最小二乘估計(jì)分別為："解：(1)應(yīng)該選擇模型，因?yàn)槟Ｐ偷臍埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且 模型的帶狀區(qū)域比模型的帶狀區(qū)域窄，所以模型的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度高.(2)(i )剔除異常數(shù)據(jù)，即3 月份的數(shù)據(jù)后，得x = |x(7X6 - 6) = 7.2 ,y = |x(30X6 - 31.8)二 29.64.乞般刃=12-1 S- 1 273. -L-l *68. 8占工汀廠j I _ 】貯3. 4 5><化 2X29. fil _ 20fi. 4 _328-5X7. 2X7,. 2i-7&7-2D. 64 -3X7. 2-8. 01. 所嘆y關(guān)于上的L可歸方程芮3.(i)把x二18代入(i)中所求回歸方程得；= 3X18 + 8.04二62.04故預(yù)報(bào)值為62.04萬(wàn)元4.每年 10 月中上旬是小麥的最佳種植時(shí)間，但小麥的發(fā)芽會(huì)受到土壤、氣候等多方面 因素的影響.某科技興趣小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系，在不同 的溫差下統(tǒng)計(jì)了100 顆小麥種子的發(fā)芽數(shù)，得到了如下數(shù)據(jù)：溫差x( C)810111312發(fā)芽數(shù)y(顆)7981859086A A A(1)請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)的最后三組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a(2) 若由(1)中的線性回歸方程得到的估計(jì)值與前兩組數(shù)據(jù)的實(shí)際值誤差均不超過(guò)兩顆， 則認(rèn)為線性回歸方程是可靠的，試判斷(1)中得到的線性回歸方程是否可靠；(3) 若100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù)為n顆，則記n%的發(fā)芽率，當(dāng)發(fā)芽率為n%時(shí)，平均每 畝地的收益為10n元，某農(nóng)場(chǎng)有土地10萬(wàn)畝，小麥種植期間晝夜溫差大約為9 °C,根據(jù)(1) 中得到的線性回歸方程估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)種植小麥所獲得的收益.n：i： yA A AA乙工J IF J：'-附：在線性回歸方®y=bx+a中，b=解：(1)Tx 二11 + 13 + 123二 12 , y二85 + 90 + 863二 87,11X85+ 13X90+ 12X86 - 3X12X87112 + 132 + 122 - 3 X 122由x + a=y，即2X12 +87，得a = 57 , 線性回歸方程為y=*+57.5當(dāng)x二8時(shí)，y二2X 8 + 57二77 ,與實(shí)際值79比較，誤差沒(méi)有超過(guò)兩顆； 當(dāng)x二10時(shí)，y二|x 10 + 57二82 ,與實(shí)際值81比較，誤差也沒(méi)有超過(guò)兩顆.所以(1)中得到的線性回歸方程$二|x + 57是可靠的.(3)由y = |x + 57得，當(dāng)x二9時(shí)，y二79.5，即每畝地的收益大約為795元，所以該農(nóng)場(chǎng)種植小麥所獲得的收益大約為7 950萬(wàn)元.