2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 排列組合與概率統(tǒng)計【重點知識回顧】排列概念兩個計數(shù)原理排列數(shù)公式排列應(yīng)用組合概念組合組合數(shù)公式排列組合二項式定理組合數(shù)性質(zhì)二項式定理通項公式應(yīng)用二項式系數(shù)性質(zhì)二、重點知識回顧1.排列與組合 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是關(guān)于計數(shù)的兩個基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計數(shù)原理和分步有關(guān)，分類計數(shù)原理與分類有關(guān). 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進行排列或組合，求共有多少種方法的問題.區(qū)別排列問題與組合問題要看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無關(guān)的屬于組合問題. 排列與組合的主要公式排列數(shù)公式： (mn)A=n! =n(n1)(n2) ··2·1.組合數(shù)公式：(mn).組合數(shù)性質(zhì)：(mn). 2.二項式定理 二項式定理(a +b)n =Can +Can1b+Canrbr +Cbn，其中各項系數(shù)就是組合數(shù)C，展開式共有n+1項，第r+1項是Tr+1 =Canrbr. 二項展開式的通項公式二項展開式的第r+1項Tr+1=Canrbr(r=0,1,n)叫做二項展開式的通項公式。 二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C= C(r=0,1,2,n).若n是偶數(shù)，則中間項(第項)的二項公式系數(shù)最大，其值為C；若n是奇數(shù)，則中間兩項(第項和第項)的二項式系數(shù)相等，并且最大，其值為C= C.所有二項式系數(shù)和等于2n，即C+CC+C=2n.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即C+C+=C+C+=2n1.3.概率（1）事件與基本事件：基本事件：試驗中不能再分的最簡單的“單位”隨機事件；一次試驗等可能的產(chǎn)生一個基本事件；任意兩個基本事件都是互斥的；試驗中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示（2）頻率與概率：隨機事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值頻率往往在概率附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加而變化，擺動幅度會越來越小隨機事件的概率是一個常數(shù)，不隨具體的實驗次數(shù)的變化而變化（3）互斥事件與對立事件：事件定義集合角度理解關(guān)系互斥事件事件與不可能同時發(fā)生兩事件交集為空事件與對立，則與必為互斥事件；事件與互斥，但不一是對立事件對立事件事件與不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生兩事件互補（4）古典概型與幾何概型：古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個基本事件”的概率模型幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例兩種概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個（5）古典概型與幾何概型的概率計算公式：古典概型的概率計算公式：幾何概型的概率計算公式：兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同（6）概率基本性質(zhì)與公式事件的概率的范圍為：互斥事件與的概率加法公式：對立事件與的概率加法公式：（7） 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k) = Cpk(1p)nk.實際上，它就是二項式(1p)+pn的展開式的第k+1項.（8）獨立重復(fù)試驗與二項分布一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗注意這里強調(diào)了三點：（1）相同條件；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨立；二項分布的概念：一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率4、統(tǒng)計（1）三種抽樣方法簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法抽樣中選取個體的方法有兩種：放回和不放回我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽取簡單隨機抽樣的特點：被抽取樣本的總體個數(shù)有限從總體中逐個進行抽取，使抽樣便于在實踐中操作它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性每一次抽樣時，每個個體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性實施抽樣的方法：抽簽法：方法簡單，易于理解隨機數(shù)表法：要理解好隨機數(shù)表，即表中每個位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，9這十個數(shù)字的數(shù)表隨機數(shù)表中各個位置上出現(xiàn)各個數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機數(shù)表進行抽樣時抽取到總體中各個個體序號的等可能性系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個體均分后的每一段中進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機的方式將總體中的個體編號；第二步，將總體的編號分段，要確定分段間隔，當（為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，；當不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體個數(shù)能被n整除，這時；第三步，在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本通常是將加上間隔k得到第2個編號，將加上k，得到第3個編號，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本分層抽樣當總體由明顯差別的幾部分組成時，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個數(shù)的比；第二步，計算出各層需抽取的個體數(shù)；第三步，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個體；第四步，將各層中抽取的個體合在一起，就是所要抽取的樣本（2）用樣本估計總體樣本分布反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時也利用莖葉圖來描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計總體分布，總體一定時，樣本容量越大，這種估計也就越精確用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定一組數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意方法步驟畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距決定組距與組數(shù)分組列頻率分布表畫頻率分布直方圖莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時不夠方便平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標準差反映了樣本數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的波動程度，其計算公式為 有時也用標準差的平方方差來代替標準差，兩者實質(zhì)上是一樣的（3）兩個變量之間的關(guān)系變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機性的相關(guān)關(guān)系在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時,我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計求出回歸直線方程通常我們使用散點圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點在直角坐標系中作出，形成散點圖然后從散點圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用科學(xué)計算器（4）求回歸直線方程的步驟：第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出；第二步：計算回歸系數(shù)的a，b，公式為第三步：寫出回歸直線方程（4）獨立性檢驗列聯(lián)表：列出的兩個分類變量和，它們的取值分別為和的樣本頻數(shù)表稱為列聯(lián)表1分類12總計12總計 構(gòu)造隨機變量（其中）得到的觀察值常與以下幾個臨界值加以比較：如果，就有的把握因為兩分類變量和是有關(guān)系；如果就有的把握因為兩分類變量和是有關(guān)系；如果就有的把握因為兩分類變量和是有關(guān)系；如果低于，就認為沒有充分的證據(jù)說明變量和是有關(guān)系三維柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對角線上的頻數(shù)的積的差的絕對值較大，說明兩分類變量和是有關(guān)的，否則的話是無關(guān)的圖1 重點：一方面考察對角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機變量進行獨立性檢驗的思路方法。二維條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫）由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知要比小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，兩個比值相差越大兩分類變量和有關(guān)的可能性也越的否則是無關(guān)系的圖2重點：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機變量進行獨立性檢驗的思想方法。等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫）由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)要比小得多，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，否則是無關(guān)系的圖3重點：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖的基礎(chǔ)上換一個角度來理解。【典型例題】考點一：排列組合【方法解讀】1、解排列組合題的基本思路： 將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步 對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎闶墙饨M合題的常用方法； 是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；2、解排列組合題的基本方法： 優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 排異法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。 分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論；注意：分類不重復(fù)不遺漏。 分步處理：對某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。 插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。 捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。 窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題。【命題規(guī)律】排列組合的知識在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中等。例1. （2020·天津）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用 （ ）A.288種 B.264種 C.240種 D.168種【提示】(1)B,D,E,F用四種顏色，則有種涂色方法；(2)B,D,E,F用三種顏色，則有種涂色方法；(3)B,D,E,F用兩種顏色，則有種涂色方法；所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法。故選B例2、某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中A，B，C三門由于上課時間相同，至多選一門學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修三門，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是（B ） A120 B98 C63 D56【提示】分兩類：第一類A，B，C三門課都不選，有35種方案；第二類A，B，C中選一門，剩余7門課中選兩門，有63種方案故共有356398種方案故選B例3、某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(A)A504 B210 C336 D120【提示】三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，分別有7,8,9種方法，插法種數(shù)為7×8×9504或504.故選A考點二：二項式定理【內(nèi)容解讀】掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題。對二項式定理的考查主要有以下兩種題型： 1、求二項展開式中的指定項問題：方法主要是運用二項式展開的通項公式； 2、求二項展開式中的多個系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別；【命題規(guī)律】歷年高考二項式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。例4、設(shè)則中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A2B3C4D5解：由題知，逐個驗證知，其它為偶數(shù)，選A。例5、組合數(shù)C（nr1，n、rZ）恒等于（ ） AC B(n+1)(r+1)C Cnr C DC解：由.例6、在的展開式中，含的項的系數(shù)是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274解：本題可通過選括號（即5個括號中4個提供，其余1個提供常數(shù)）的思路來完成。故含的項的系數(shù)為例7、若(x+)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項的系數(shù)為(A)6(B)7(C)8 (D)9 解：因為的展開式中前三項的系數(shù)、成等差數(shù)列，所以，即，解得：或（舍）。令可得，所以的系數(shù)為，故選B?？键c三：概率【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨立事件的概率、事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法?！久}規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6-10，試題的難度為中等或中等偏易。（2）概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。例8、在平面直角坐標系中，設(shè)D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點，則落入E中的概率為 。解：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。 答案 點評：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。例9、從編號為1,2,10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為(A)(B)(C)(D)解：，故選B。點評：本小題主要考查組合的基本知識及等可能事件的概率。例10、在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為（A）（B）（C）（D）解：基本事件總數(shù)為。選出火炬手編號為，時，由可得4種選法；時，由可得4種選法；時，由可得4種選法。點評：本題考查古典概型及排列組合問題。例11、某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）A.B. C. D. 解：獨立重復(fù)實驗，例12、某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標即終止射擊，第次擊中目標得分，3次均未擊中目標得0分已知某射手每次擊中目標的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望解： （）設(shè)該射手第次擊中目標的事件為，則，（）可能取的值為0，1，2，3 的分布列為01230.0080.0320.160.8.例13、隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為（1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列為：621-20.630.250.10.02（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為依題意，即，解得 所以三等品率最多為考點四：統(tǒng)計【內(nèi)容解讀】理解簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點及步驟會用三種抽樣方法從總體中抽取樣本會用樣本頻率分布估計總體分布會用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征會利用散點圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨立性檢驗的步驟與方法?！久}規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6-10，試題的難度為中等或中等偏易。（2）概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。例14、下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗Y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù) 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤? (參考數(shù)值：325+43+54+645=66.5)解：(1)散點圖略. (2), , , 由所提供的公式可得,故所求線性回歸方程為10分 (3)噸. 例15、為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項()求等比數(shù)列的通項公式;（)求等差數(shù)列的通項公式；視力4.3 4.4 4.54.64.74.84.95.05.15.20.10.3()若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計該校新生的近視率的大小.解：由題意知：， 數(shù)列是等比數(shù)列，公比 . =13,， 數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列公差為，則得，87， =, (或=) 答:估計該校新生近視率為91%. 例16、某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x(°C)1011131286就診人數(shù)y(個)222529261612 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗. ()求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；(5分) ()若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(6分) ()若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分) (參考公式: )解：()設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A.因為從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的其中,抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種 所以()由數(shù)據(jù)求得由公式求得再由所以關(guān)于的線性回歸方程為()當時, ；同樣, 當時, 所以,該小組所得線性回歸方程是理想的. 四、復(fù)習(xí)建議1. 對于一些容易混淆的概念，如排列與排列數(shù)、組合與組合數(shù)、排列與組合、二項式系數(shù)與二項展開式中各項的系數(shù)等，應(yīng)注意弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.2. 復(fù)習(xí)中，對于排列組合應(yīng)用題，注意從不同的角度去進行求解，以開闊思維，提高解題能力.3. 注意體會解決概率應(yīng)用題的思考方法，正向思考時要善于將較復(fù)雜的問題進行分解，解決有些問題時還要學(xué)會運用逆向思考的方法. 4、注意復(fù)習(xí)求線性回歸方程的方法，回歸分析方法，獨立性檢驗的方法及其應(yīng)用問題。【模擬演練】計數(shù)原理部分：1.(2020 ·湖南 )在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字也許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為A10 B.11 C.12 D.15【提示】與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有第二類: 與信息0110有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有第三類: 與信息0110沒有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同信息有6+4+1=11故選B2只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有 (C)A6個 B9個 C18個 D36個【提示】由題意知，1,2,3中必有某一個數(shù)字重復(fù)使用2次第一步確定誰被使用2次，有3種方法；第二步把這2個相等的數(shù)放在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，也有3種方法；第三步將余下的2個數(shù)放在四位數(shù)余下的2個位置上，有2種方法故共可組成3×3×218個不同的四位數(shù)故選C3(2020·淮陰一模)已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是 (D)A18 B10 C16 D14【提示】M中的元素作點的橫坐標，N中的元素作點的縱坐標，在第一象限的點共有2×2個，在第二象限的點共有1×2個N中的元素作點的橫坐標，M中的元素作點的縱坐標，在第一象限的點共有2×2個，在第二象限的點共有2×2個所求不同的點的個數(shù)是2×21×22×22×214(個).故選D4.(2020·本溪模擬)如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐PABC與正三棱柱ABCA1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有_12_種提示：先涂三棱錐PABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，共有×××3×2×1×212種不同的涂法5設(shè)集合A1,2,3,4，m，nA，則方程 表示焦點在x軸上的橢圓有 (D)A6個B8個 C12個 D16個【提示】因為橢圓的焦點在x軸上，所以當m4時，n1,2,3；當m3時，n1,2；當m2時，n1.即滿足條件的橢圓共有3216個故選D6有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，則不同的選法有 (C)A21種 B315種 C143種 D153種【提示】故選C6從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有 (B) A40種 B60種 C100種 D120種【提示】由題意可列式為 故選B7（2020 全國卷1理）某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 ( A )A .30種 B.35種 C.42種 D.48種【提示】用間接法種,故選A8（2020·廣東）為了迎接2020年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒。如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是（ C ）A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒【提示】每次閃爍時間5秒，共5×120=600s，每兩次閃爍之間的間隔為5s，共5×（120-1）=595s總共就有600+595=1195s故選C9（2020·全國卷1）某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種 30 .(用數(shù)字作答)【提示】可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法;(2)A類選修課選2門,B類選修課選1門有種不同的選法.所以不同的選法共有+種.10“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如1 458），若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為 1359 .【提示】 漸升數(shù)由小到大排列，形如的漸升數(shù)共有：6+5+4+3+2+1=21（個），如123×，個位可從4，5，6，7，8，9六個數(shù)字選一個，有6種等；形如的漸升數(shù)共有5個；形如的漸升數(shù)共有4個，故此時共有21+5+4=30個，因此從小到大的漸升數(shù)的第30個必為1 359，所以應(yīng)填1 359.11用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一顏色(1)若n6，則為甲圖著色的不同方法共有_480_種；(2)若為乙圖著色時共有120種不同方法，則n_5_.【提示】(1)由分步乘法計數(shù)原理，對區(qū)域按順序著色，共有6×5×4×4480種方法(2)與第(1)問的區(qū)別在于與相鄰的區(qū)域由2塊變成了3塊同樣利用分步乘法計數(shù)原理，得n(n1)(n2)(n3)120.所以(n23n)(n23n2)120，即(n23n)22(n23n)12×100，所以n23n100，n23n120(舍去)，解得n5，n2(舍去)12如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有_13_種【提示】每個焊接點都有脫落與不脫落兩種狀態(tài)，電路不通可能是1個或多個焊接點脫落，問題比較復(fù)雜但電路通的情況卻只有3種，即2或3脫落或全不脫落因為每個焊接點有脫落與不脫落兩種情況，故共有24313種情況13現(xiàn)有高一四個班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組(1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選二人作中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解：(1)分四類，第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法，所以，共有不同的選法N7891034(種)(2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長，所以共有不同的選法N7×8×9×105 040(種)(3)分六類，每類又分兩步：從一班、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法，從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法，所以共有不同的選法N7×87×97×108×98×109×10431(種)概率統(tǒng)計部分：1在一所有1000名學(xué)生的學(xué)校中隨機調(diào)查了100人，其中有85人上學(xué)之前吃早餐，在這所學(xué)校里隨便問1人，上學(xué)之前吃過早餐的概率是（ ）A0.85 B0.085 C0.1 D8502一布袋中有紅球8個，白球5個和黑球12個，它們除顏色外沒有其他區(qū)別，隨機地從袋中取出1球不是黑球的概率為（ ）A B C D 3某商店舉辦有獎銷售活動，購物滿100元者發(fā)兌獎券一張，在10000張獎券中，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎100個，若某人購物滿100元，那么他中一等獎的概率是（ ）A B C D A B4如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每個扇形上都標有數(shù)字，同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針都落在奇數(shù)上的概率是（ ）A B C D5軍軍的文具盒中有兩支蠟筆，一支紅色的、一支綠色的；三支水彩筆，分別是黃色、黑色、紅色，任意拿出一支蠟筆和一支水彩筆，正好都是紅色的概率為（ ）A B C D6甲、乙兩位學(xué)生一起在玩拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲規(guī)定：甲學(xué)生拋出兩個正面得1分；乙學(xué)生拋出一正一反得1分那么各拋擲100次后他們的得分情況大約應(yīng)為（ ）A甲25分，乙25分 B甲25分，乙50分C甲50分，乙25分 D甲50分，乙50分二、填空題1口袋中放有3只紅球和11只黃球，這兩種球除顏色外沒有任何區(qū)別，隨機從口袋中任取一只球，取到黃球的概率是_ _2 一個口袋中有4個白球，1個紅球，7個黃球攪勻后隨機從袋中摸出1個是白球的概率是_32020年5月份，某市市區(qū)一周空氣質(zhì)量報告中某項污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是：31、35、31、34、30、32、31，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_.4為了緩解旱情，我市發(fā)射增雨火箭，實施增雨作業(yè) 在一場降雨中，某縣測得10個面積相等區(qū)域的降雨量如下表：區(qū)域12345678910降雨量(mm)10121313201514151414則該縣這10個區(qū)域降雨量的眾數(shù)為_(mm)；平均降雨量為_（mm）5一個骰子，六個面上的數(shù)字分別為1、2、3、3、4、5，投擲一次，向上的面出現(xiàn)數(shù)字3的概率是_第6題圖6某校學(xué)生會在“暑假社會實踐”活動中組織學(xué)生進行社會調(diào)查，并組織評委會對學(xué)生寫出的調(diào)查報告進行了評比學(xué)生會隨機抽取了部分評比后的調(diào)查報告進行統(tǒng)計，繪制了統(tǒng)計圖如下，請根據(jù)該圖回答下列問題：（1）學(xué)生會共抽取了_份調(diào)查報告； （2）若等第A為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率為_ ；（3）學(xué)生會共收到調(diào)查報告1000 份，請估計該校有多少份調(diào)查報告的等第為E ?7有100張已編號的卡片（從1號到100號）從中任取1張，計算卡片是奇數(shù)的概率是_，卡片號是7的倍數(shù)的概率是_8擲一枚正六面體的骰子，擲出的點數(shù)不大于3的概率是_三、解答題1小謝家買了一輛小轎車，小謝連續(xù)記錄了七天每天行駛的路程第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程(千米)46393650549134請你用統(tǒng)計初步的知識，解答下列問題：(1)小謝家小轎車每月(每月按30天計算)要行駛多少千米?(2)若每行駛100千米需汽油8升，汽油每升345元請你求出小謝家一年(一年按12個月計算)的汽油費是多少元?2今年“五一黃金周”期間，花果山風(fēng)景區(qū)共接待游客約22.5萬人為了了解該景區(qū)的服務(wù)水平，有關(guān)部門從這些游客中隨機抽取450人進行調(diào)查，請他們對景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量進行評分，評分結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：檔 次第一檔第二檔第三檔第四檔第五檔分值a（分）a9080a<9070a<8060a<70a<60人 數(shù)731471228622根據(jù)表中提供的信息，回答下列問題：（1）所有評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)在第幾檔內(nèi)？（2）若評分不低于70分為“滿意”，試估計今年“五一黃金周”期間對花果山景區(qū)服務(wù)“滿意”的游客人數(shù)3在青島市政府舉辦的“迎奧運登山活動”中，參加嶗山景區(qū)登山活動的市民約有12000人，為統(tǒng)計參加活動人員的年齡情況，我們從中隨機抽取了100人的年齡作為樣本，進行數(shù)據(jù)處理，制成扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（部分）如下： （1）根據(jù)圖提供的信息補全圖；（2）參加嶗山景區(qū)登山活動的 12000 余名市民中，哪個年齡段的人數(shù)最多？（3）根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，談?wù)勛约旱母邢耄ú怀^30字）4袋中裝有編號為1、2、3的三個形狀大小相同的小球，從袋中隨意摸出1球并且隨意拋擲一個面上標有1，2，3，4，5，6各一數(shù)字的正方體均勻骰子（1）如果摸出1號球和骰子朝上的數(shù)字為1則甲勝；如果摸出2號球和骰子朝上的數(shù)字為2，則乙勝這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？（2）如果摸出的球編號為奇數(shù)和骰子朝上的數(shù)字為奇數(shù)則甲勝；如果摸出的球編號為偶數(shù)和木塊朝上的數(shù)字為偶數(shù)，則乙勝這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？說明理由參 考 答 案一、選擇題1A（提示：100人中吃早餐的概率85÷100=0.85，可以代表1000名學(xué)生吃早餐的概率）2D（提示：P（摸出的是黑球）=，所以P（摸出的不是黑球）=1=）3C（提示：共有10000張獎券，其中一等獎10個，購物100元，可得一張獎券，故P（中一等獎）=4B（提示：P（A指奇數(shù)）=，P（B指奇數(shù)）=，所以P（A、B同時指奇數(shù)）=×=）5D（提示：P（兩支紅色水筆）6B（提示：拋擲兩枚硬幣的所有可能是正正、正反、反正、反反所以P（甲拋出兩個正面）=，P（乙拋出一正一反）=，各拋100次后，甲得分100×=25（分），乙得分100×=50（分）二、填空題1 （提示：實驗中，我們關(guān)注的結(jié)果的次數(shù)是11，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果的次數(shù)是14，故取到黃球的概率）2（提示：P（白球）=）331（提示：將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為30、31、31、31、32、34、35，則位于中間位置的一個數(shù)為31，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是31）414，14（提示：14出現(xiàn)次數(shù)最多，平均降雨量是把各區(qū)域降雨量相加再除以10）5（提示：P（向上數(shù)字為3）=）650，0.16，40（提示：共抽查8+20+15+5+2=50；優(yōu)秀率為8÷50=0.16；等第為E的報告有）7，（提示：1到100中奇數(shù)有50個，P（卡片是奇數(shù)）=；7的倍數(shù)有100÷714，所以P（卡片號是7的倍數(shù)）=）8（提示：點數(shù)不大于3的數(shù)字有1、2、3，所以P（點數(shù)不大于3）=）三、解答題1解：(1)由圖知這七天中平均每天行駛的路程為50(千米)每月行駛的路程為30×50=l 500(千米)答：小謝家小轎車每月要行駛1500千米(2)小謝一家一年的汽油費用是4 968元2解:（1）所有評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)在第三檔內(nèi). （2）根據(jù)題意，樣本中不小于70的數(shù)據(jù)個數(shù)為73+147+122=342， 所以，22.5萬游客中對花果山景區(qū)服務(wù)“滿意”的游客人數(shù)約為（萬）.3解：（1）略 （2）6069歲 （3）根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，談?wù)勛约旱母邢牒侠砑纯?解：公平 因為獲勝概率相同都等于；不公平；因為甲獲勝概率為，乙獲勝概率為