2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題五 平面向量【重點(diǎn)知識(shí)回顧】向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既具有代數(shù)特征，又具有幾何特征，因此我們要借助于向量可以將某些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，又可將某些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，在復(fù)習(xí)中要體會(huì)向量的數(shù)形結(jié)合橋梁作用。能否理解和掌握平面向量的有關(guān)概念，如：共線(xiàn)向量、相等向量等，它關(guān)系到我們今后在解決一些相關(guān)問(wèn)題時(shí)能否靈活應(yīng)用的問(wèn)題。這就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)首先立足課本，打好基礎(chǔ)，形成清晰地知識(shí)結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)掌握相關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算公式 法則等，正確掌握這些是學(xué)好本專(zhuān)題的關(guān)鍵在解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過(guò)向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的作用。在解決解斜三角形問(wèn)題時(shí)，一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解斜三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力因此，在復(fù)習(xí)中，要注意分層復(fù)習(xí)，既要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，又要把向量知識(shí)與其它知識(shí)，如：曲線(xiàn)，數(shù)列，函數(shù)，三角等進(jìn)行橫向聯(lián)系，以體現(xiàn)向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一組基底。 向量的坐標(biāo)表示 表示。 . 平面向量的數(shù)量積 數(shù)量積的幾何意義： （2）數(shù)量積的運(yùn)算法則 【典型例題】1.向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的基本定理例1. (2020湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3 D.11解：(a+2b)，(a+2b)·c ，選C點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與實(shí)數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量，向量的加法運(yùn)算，結(jié)果也是一個(gè)向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)字例2、(2020廣東文)已知平面向量，且，則=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由，得m4，所以，（2，4）（6，12）（4，8），故選（C）。點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)向量平行，其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的倍，也是共線(xiàn)向量，注意運(yùn)算的公式，容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆例3（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來(lái)。（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來(lái)表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=+=+=2+，同樣在平行四邊形 BCDO中，()2，點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，表示。例4已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC邊上的高為AD，求。解析：設(shè)D(x,y)，則得所以。2. 向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題例5、（2020深圳福田等）已知向量 ,函數(shù)(1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時(shí), 若求的值解：(1) . 所以，T. (2) 由得， 點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn). 例6、（2020山東文）在中，角的對(duì)邊分別為（1）求；（2）若，且，求解：（1）又 解得，是銳角（2）由， ，又點(diǎn)評(píng)：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。3. 平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯例7已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間解：（1）法一：由題意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x · y×（tk）×(tk)0整理得：t33t4k0，即kt3t. 法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x · y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1. 故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.歸納 第1問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，值得注意）。第2問(wèn)中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用變式 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角，使向量(sin3), k(sin),且，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。點(diǎn)撥 將例題中的t略加改動(dòng)，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運(yùn)用能力。OxACBa例7圖yACBaQP解：仿例3（1）解法（二）可得k( sin)2,而1sin1, 當(dāng)sin1時(shí)，k取最大值1； sin1時(shí)，k取最小值. 又k0 k的取值范圍為 .4. 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例8、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以A為中點(diǎn)，問(wèn)與的夾角取何值時(shí)， 的值最大？并求出這個(gè)最大值 解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y），cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0（方向相同）時(shí)，的值最大，其最大值為0. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，平面向量與幾何問(wèn)題的融合。考查學(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力。例9、已知A、B為拋物線(xiàn)(p>0)上兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為C、D，（1） 若，求拋物線(xiàn)的方程。（2） CD是否恒存在一點(diǎn)K，使得 Y A F P B X O D K C 解：（1）提示：記A（）、B （）設(shè)直線(xiàn)AB方程為代入拋物線(xiàn)方程得（2）設(shè)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為T(mén)，則0故存在點(diǎn)K即點(diǎn)T，使得實(shí)質(zhì)：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切變式（2020全國(guó)湖南文21）如圖，過(guò)拋物線(xiàn)x2=4y的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為，證明:；解：依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為 代入拋物線(xiàn)方程得 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、x2是方程的兩根.所以 由點(diǎn)P（0，m）分有向線(xiàn)段所成的比為，得又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，m），從而. 所以 【模擬演練】一、選擇題1已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線(xiàn)y=mx7與線(xiàn)段M1M2的交點(diǎn)分有向線(xiàn)段M1M2的比為3：2，則的值為 （ ）A B C D42已知a,b是非零向量且滿(mǎn)足（a2b）a，（b2a）b，則a與b的夾角是 （ ）A B C D3已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），則向量與向量的夾角的范圍為 （ ）A0， B， C， D，4設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線(xiàn)y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則·= （ ）A B C3 D35 O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=+()，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6已知平面上直線(xiàn)l的方向向量e=（,），點(diǎn)O（0，0）和A(1, 2)在上的射影分別是O/和A/，則，其中=（ ）A B C2 D27、（ ）A B. C. D. 18、已知，則向量與（ ）A.互相平行 B. 夾角為 C.夾角為 D.互相垂直9、已知向量的夾角是（ ）ABC D10、若向量，則等于（ ）A. B. C. D.11、已知非零向量若且又知?jiǎng)t實(shí)數(shù)的值為 （ ） A. B. C. 3 D. 612. 把函數(shù)y的圖象按a（1，2）平移到F，則F的函數(shù)解析式為Ay ByCy Dy二、填空題13已知向量a、b的夾角為，|a|2，|b|1，則|ab|ab|的值是 .14.已知M、N是ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且,設(shè)，則 . 15. ABC中，,其中A、B、C是ABC的三內(nèi)角，則ABC是 三角形。16. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，其中且，則的軌跡方程為 . 三、解答題17. 已知向量，.（1）若，試判斷與能否平行（2）若，求函數(shù)的最小值.18. 設(shè)函數(shù)，其中向量，. （1）求函數(shù)的最大值和最小正周期； （2）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，求長(zhǎng)度最小的.19. 如圖，ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑PQ2，問(wèn)：當(dāng)P、Q取什么位置時(shí)，·有最大值? 20. 已知定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MP至點(diǎn)N，且（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；（2）直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若且4，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍21. 已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè). （1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）求向量和夾角的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)22. 在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線(xiàn)行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C. （1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由. 專(zhuān)題訓(xùn)練答案一、選擇題1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7A 8A 9D 10B11D 12 A二、填空題13 14. ；15.直角16. 三、解答題17. 解：（1）若與平行，則有，因?yàn)椋缘?，這與相矛盾，故與不能平行.（2）由于，又因?yàn)?，所以?于是，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故函數(shù)的最小值等于.18解：（1）由題意得，f(x)a·(b+c)=(sinx,cosx)·(sinxcosx,sinx3cosx)sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是.（2）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ. 因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k1，此時(shí)d（，2）即為所求.19. 解：·（）·（）（）·（）r2··設(shè)BAC，PA的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于D，PDB，則·r2cbcosracosa、b、c、r均為定值，當(dāng)cos1，即APBC時(shí)，·有最大值.20. 略解 （1）y24x (x0) （2）先證明l與x軸不垂直，再設(shè)l的方程為ykxb(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，得ky2 4y4b0,由，得.又 故 而 解得直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是21. 解析：（1）設(shè)，則，.（2）設(shè)向量與的夾角為，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，等號(hào)成立. 22. 解: （I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（2）解法一 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線(xiàn)l的斜率k=,直線(xiàn)l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線(xiàn)l的距離d=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.