51 定積分的概念1本學期學習內容本學期學習內容教材上冊教材上冊:第五章第五章 定積分定積分第六章第六章 定積分的應用定積分的應用教材下冊教材下冊:第八章第八章 多元函數微分法及其應用多元函數微分法及其應用第九章第九章 重積分重積分第十二章第十二章 微分方程微分方程第十一章第十一章 無窮級數無窮級數51 定積分的概念2第五章第五章 定積分定積分第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質定積分的概念與性質51 定積分的概念3abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出一、問題的提出)(xfy 兩個問題要解決兩個問題要解決:矩形面積矩形面積ahah ahb梯形面積梯形面積()2hab51 定積分的概念4abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）51 定積分的概念5觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念6觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念7觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念8觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念9觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念10觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念11觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系51 定積分的概念12曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內內插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 ()iiiAfx 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 具體解決步驟具體解決步驟 :分割分割近似近似iA51 定積分的概念13iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當分割無限加細當分割無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為求和求和取極限取極限51 定積分的概念14實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數，且的一個連續(xù)函數，且0)( tv，求物體在這段時間內所經過的路程，求物體在這段時間內所經過的路程.思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值51 定積分的概念15（1）分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（3）求和求和iinitvs )(1 （4）取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值(2) 近似近似51 定積分的概念16iniixfA )(lim10 01lim()niiiSvt 51 定積分的概念17設設函函數數)(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作乘積作乘積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義51 定積分的概念18怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只要當只要當0 時，時，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和51 定積分的概念19注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數數及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當當函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.51 定積分的概念20n 即即 不不能能保保證證對對區(qū)區(qū)間間的的無無限限細細分分( (5 5) ) 被被積積函函數數是是定定積積分分存存在在的的前前提提，若若 被被積積函函數數，則則定定積積分分一一定定有有界界無無界界不不存存在在. .ab2ab ( ) , ( ) , f xa bf xa b 若若在在上上可可積積， 定定積積分分則則存存在在的的必必要要條條件件在在上上有有界界. .51 定積分的概念21 當當函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設設函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .則則)(xf在在三、存在定理（充分條件）三、存在定理（充分條件）區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. .51 定積分的概念22, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義51 定積分的概念23幾何意義：幾何意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數和數和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數軸、函數它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 51 定積分的概念24例例1dxx 1021計算積分計算積分義義知知，該該積積分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面積積（見見下下圖圖）所所圍圍及及軸軸，曲曲線線10,12 xxxxy面積值為圓的面積的面積值為圓的面積的4141102 dxx所以所以x1y51 定積分的概念25例例2 2 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 51 定積分的概念26nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 51 定積分的概念27112(2) limppppnnn 11limnpnin in10dpxx iix例例3. 用定積分表示下列極限用定積分表示下列極限:11(1) lim1nniinn 112(2) limppppnnn 解解:11(1) lim1nniinn 11lim1nniinn i ix 101dx x x011in in01( )lim()nbiiaif x dxfx 51 定積分的概念28思考題思考題將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.原式原式s12(1)limsinsinsininnnnnnnnn ninnin1sin1lim11limsinnniinn 10sin.xdx ix i 11limsinnniinn ix i 01sin.xdx 51 定積分的概念29對定積分的對定積分的補充規(guī)定補充規(guī)定:（1）當當ba 時時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質中，假定定積分都存在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小定積分的性質定積分的性質51 定積分的概念30證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）性質性質1 151 定積分的概念31證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質性質2 251 定積分的概念32 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則則假假設設bca 性質性質3 351 定積分的概念33dxba 1dxba ab .證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質性質4 4性質性質5 551 定積分的概念34性質性質5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）51 定積分的概念35dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.性質性質5 5的推論：的推論：（2）( ) . ( ) . f xa bf xa b在在上上可可積積在在說說明明：上上可可積積( ) . ( ) . f xa bf xa b在在上上可可積積在在上上可可積積 ? ?51 定積分的概念36 , ( )( )0,0( )0baa bf xf xf x dx 若若在在 上上連連續(xù)續(xù)，且且但但不不恒恒為為 則則性質性質5(5(定積分的保號性定積分的保號性) )命題命題證證00()0, , f xxa b 設設0,0,c 由由連連續(xù)續(xù)函函數數保保號號性性，使使得得0000min(,)(),( ),xxxf xcxa bx 當當0( )( )bxaaf x dxf x dx 00( )xxf x dx 0( )bxf x dx 20c 51 定積分的概念37例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 51 定積分的概念38例例2 ( ), ( ) , f xg xC a b 設設 證證明明下下列列不不等等式式成成立立 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx ( (1 1) ) 柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式 111222222( )( )( )( )bbbaaaf xg xdxfxdxg xdx ( (2 2) ) 閔可夫斯基不等式閔可夫斯基不等式51 定積分的概念39 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx ( (1 1) ) 證證 2( )( )batf xg xdx 考考慮慮積積分分 222( )2( ) ( )( )0bbbaaatfx dxtf x g x dxgx dx 2222( ) ( )4( )( )0bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 被積函數非負被積函數非負51 定積分的概念40 111222222( )( )( )( )bbbaaaf xg xdxfx dxgx dx ( (2 2) ) 2( )( )baf xg xdx 證證 122222( )( )2( )( )bbbbaaaafx dxgx dxfx dxgx dx 即證即證 12222( ) ( )2( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式51 定積分的概念41設設M及及m分分別別是是函函數數證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質可用于估計積分值的大致范圍）（此性質可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質性質6 651 定積分的概念42解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx51 定積分的概念43解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調調下下降降,51 定積分的概念44,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx51 定積分的概念45如如果果函函數數)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理知性質性質7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式51 定積分的概念46使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。51 定積分的概念47解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 51 定積分的概念48內容小結內容小結1. 定積分的定義定積分的定義 乘積和式的極限乘積和式的極限2. 定積分的性質定積分的性質3. 積分中值定理積分中值定理連續(xù)函數在區(qū)間上的平均值公式連續(xù)函數在區(qū)間上的平均值公式01( )lim()nbiiaif x dxfx )(ba