第 5 課時(shí)萬有引力定律及其應(yīng)用 基礎(chǔ)知識(shí)歸納1.開普勒三定律(1)第一定律(軌道定律)：所有的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.(2)第二定律(面積定律)：對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.(3)第三定律(周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.在近似情況下，通常將行星或衛(wèi)星的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)處理為圓軌道運(yùn)動(dòng).2.萬有引力定律(1)內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小跟兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟他們之間的距離的二次方成反比.(2)公式：F，其中G6.67×1011 Nm2/kg2，叫引力常量.(3)適用條件：僅僅適用于質(zhì)點(diǎn)或可以看做質(zhì)點(diǎn)的物體.相距較遠(yuǎn)(相對(duì)于物體自身的尺寸)的物體和質(zhì)量均勻分布的球體可以看做質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)，式中的r指兩質(zhì)點(diǎn)間的距離或球心間的距離.3.萬有引力定律的應(yīng)用(1)由G得v，所以R越大，v越?。?2)由Gm2R得，所以R越大，越??；(3)由GmR得T，所以R越大，T越大；(4)模型總結(jié)：當(dāng)衛(wèi)星穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，軌道半徑R越大，v越??；越小；T越大；萬有引力越??；向心加速度越小.同一圓周軌道內(nèi)正常運(yùn)行的所有衛(wèi)星的速度、角速度、周期、向心加速度的大小均相等.這一模型在分析衛(wèi)星的軌道變換、衛(wèi)星回收等問題中很有用.重點(diǎn)難點(diǎn)突破一、萬有引力與重力1.重力：重力是指地球上的物體由于地球的吸引而使物體受到的力.通過分析地球上物體受到地球引力產(chǎn)生的效果，可以知道重力是引力的一個(gè)分力.引力的另一個(gè)分力是地球上的物體隨同地球自轉(zhuǎn)的向心力(這個(gè)向心力也可以看做是物體受到的地球引力與地面支持力的合力)如圖所示.但由于向心力很小，所以在一般計(jì)算中可認(rèn)為重力近似等于萬有引力，重力方向豎直向下(即指向地心).2.天體表面重力加速度問題設(shè)天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，因?yàn)槲矬w在天體表面受到的重力近似等于受到的萬有引力，所以有mgG，g同樣可以推得在天體表面上方h處重力加速度mgG，g來源:學(xué)+科+網(wǎng)重力加速度受緯度、高度、地球質(zhì)量分布情況等多種因素影響，隨緯度的增大而增大，隨高度的增大而減小.二、估算天體的質(zhì)量和密度把衛(wèi)星(或行星)繞中心天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體對(duì)衛(wèi)星(或行星)的引力作為它繞中心天體的向心力.根據(jù)Gmanm得M.因此，只需測出衛(wèi)星(或行星)的運(yùn)動(dòng)半徑r和周期T，即可算出中心天體的質(zhì)量M.又由，可以求出中心天體的密度.典例精析1.萬有引力與重力【例1】(2020全國)如圖所示，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油.假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠(yuǎn)小于，可將上述球形區(qū)域視為空腔.如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向：當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況下有微小偏離.重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”.為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量，常利用P點(diǎn)附近重力加速度反常現(xiàn)象.已知引力常數(shù)為G.(1)設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑)，x，求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常；(2)若在水平地面上半徑為L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在與k(k>1)之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半徑為L的范圍的中心.如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積.【解析】(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值.因此，重力加速度反?？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力Gmg來計(jì)算，式中m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量，MV而r是球形空腔中心O到Q點(diǎn)的距離rg在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小.Q點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常g是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影.gg聯(lián)立式得g(2)由式得，重力加速度反常g的最大值和最小值分別為(g)max(g)min由題設(shè)有(g)maxk，(g)min聯(lián)立式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為dV【思維提升】此題是萬有引力定律實(shí)際應(yīng)用的典型實(shí)例，求解的關(guān)鍵是綜合題中所給信息，充分理解題意，采用補(bǔ)全法求重力加速度反常量值，并結(jié)合幾何關(guān)系等求解空腔深度和體積.【拓展1】火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為( B )A.0.2g           B.0.4g           C.2.5g           D.5g【解析】考查萬有引力定律.星球表面重力等于萬有引力，即Gmg，故火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值0.4，故B正確.2.天體的質(zhì)量與密度的計(jì)算【例2】登月飛行器關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道繞月球飛行，周期是120.5 min.已知月球半徑是1 740 km，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算月球的平均密度.(G6.67×1011 Nm2/kg2)【解析】根據(jù)牛頓第二定律有G從上式中消去飛行器質(zhì)量m后可解得M kg7.2×1022 kg根據(jù)密度公式有 kg/m33.26×103 kg/m3【思維提升】要計(jì)算月球的平均密度，首先應(yīng)求出月球的質(zhì)量M.飛行器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由月球?qū)λ娜f有引力提供的.【拓展2】(2020全國)天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星.這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍.已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期約為1.4小時(shí)，引力常量G6.67×1011 Nm2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為( D )A.1.8×103 kg/m3 B.5.6×103 kg/m3 C.1.1×104 kg/m3 D.2.9×104 kg/m3【解析】由知該行星的密度是地球密度的5.32倍.對(duì)近地衛(wèi)星有，再結(jié)合，VR3可解得地球的密度5.6×103 kg/m3，故行星的密度5.32×2.96×104 kg/m3，D正確.易錯(cuò)門診3.萬有引力定律的應(yīng)用【例3】從地球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為RARB41，求它們的線速度之比和運(yùn)動(dòng)周期之比.【錯(cuò)解】衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力為F向mgm設(shè)A、B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mA、mB，則mAgmAmBgmB由式解得，所以2又T，所以·4×2【錯(cuò)因】這里錯(cuò)在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān).根據(jù)萬有引力定律知mAgAGmBgBG由式解得所以gAgB可見，在“錯(cuò)解”中把A、B兩衛(wèi)星的重力加速度gA、gB當(dāng)做相同的g來處理是不對(duì)的.【正解】衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有A：FA向GmAB：FB向GmB由式解得，所以根據(jù)TA，TB可知··81【思維提升】我們?cè)谘芯康厍蛏系奈矬w的運(yùn)動(dòng)時(shí)，地面附近物體的重力加速度近似看做是恒量.但研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)注意不能將其認(rèn)為是常量，隨高度變化，g值是改變的.