第28講 表面積與體積（二）一、知識要點解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。（3）求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。（4）求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。二、精講精練【例題1】有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。練習(xí)1：1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高了4厘米和11厘米，如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，那么大水池水面將升高多少厘米？2、用直徑為20厘米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長方體鋼板，應(yīng)截取圓鋼多長（精確到0.1厘米）？3、將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積?！纠}2】一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開水的體積是8×8×15=960（立方厘米）。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米，要淹沒15厘米高的鐵塊，水面就要上升158=7（厘米），需要排開水的體積是（3.14×10×108×8）×7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14×10×108×8=250（平方厘米）。水的形狀變了，但體積還是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升10.0488=2.048（厘米）3.14×10×10×8÷（3.14×10×108×8）8=2512÷2508=10.0488=2.048（厘米）答：水面上升了2.048厘米。練習(xí)2：1、一個底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水?，F(xiàn)把一個底面半徑是1厘米、高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中，問水面升高了多少厘米（取3）？2、一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積市2平方里。在這個杯中放進(jìn)棱長6厘米的正方形鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？3、在底面是邊長為60厘米的正方形的一個長方形容器里，直立放著一個長100厘米、底面邊長為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水50厘米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？【例題3】某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖28-1所示）。設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的高和寬也都是r，長是2r。長方體的容積是2r×r×r=24，即r的立方=12。這個半圓錐體的體積是1/3×r的平方×r÷2=1/6r的立方，將r的立方=12代入，就可以求得面粉的體積。設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的容積是2r×r×r=24，r的立方=12。1/3×3.14×r的平方×r÷2=1/6×3.14×r的立方=1/6×3.14×12=6.28（立方米）答：這堆面粉的體積是6.28立方米。練習(xí)3：1、已知一個圓錐體的底面半徑和高都等于一正方體的棱長，這個正方體的體積是216立方分米。求這個圓錐體的體積。2、一個正方體的紙盒中如圖28-2所示，恰好能裝入一個體積6.28立方厘米的圓柱體。紙盒的容積有多大（取3.14）？3、如圖28-3所擲，圓錐形容器中裝有3升水，水面告訴正好是圓錐高讀的一半。這個容器還能裝多少水？【例題4】如果把12件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？設(shè)長方體物品的長、寬、高分別是a、b、c，并且abc（入土28-4）。比較“3×4”和“2×6”兩種包法。圖28-5中大長方體表面積為6ab+8ac+24bc，圖28-6中大長方體的表面積為4ab+12ac+24bc，兩個式子中都曲調(diào)相同的部分4ab+8ac+24bc后，式與式的大小要看2ab與4ac的大小。（1）當(dāng)b=2c時，2ab=￥ac，兩種包法相同。（2）當(dāng)b2c時，“3×4”的包法表面積最小。（3）當(dāng)b2c時，“2×6”的包法表面積最小。練習(xí)4：1、如果把長8厘米，寬7厘米，高3厘米的2件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包，物體的表面積最?。?、一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體。請你幫廠家設(shè)計一個能裝10個小禮品盒的大紙箱，你覺得怎樣設(shè)計比較合理？為什么？3、一包香煙的形狀是長方體，它的長是9厘米，寬是5厘米，高是2厘米。把10 包香煙包裝在一起形成一個大長方體，稱為一條。可以怎樣包裝？算一算需要多少包裝紙（包轉(zhuǎn)念能夠紙的重疊部分忽略不計）。你認(rèn)為哪一種包裝比較合理？【例題5】一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18×18×18。現(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是1×4×9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？因為集裝箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù)，所以，只能先在18×16×18的空間放貨箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。這時還有18×2×18的空間，但只能在18×2×16的空間放貨箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下18×2×2的空間無法再放貨箱，所以最多能裝144+16=160（只）。18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）=144+16=160（只）答：這只集裝箱能裝160只貨箱。練習(xí)5：1、有一個長方體的盒子，從里面量長為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米。在這個盒子里放長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，最多可放幾塊？2、從一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的廠房體上面，盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？3、現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒（焊接處及鐵皮厚度不計，容積越大越好），你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米？