第34講 行程問(wèn)題（二）一、知識(shí)要點(diǎn)在行程問(wèn)題中，與環(huán)行有關(guān)的行程問(wèn)題的解決方法與一般的行程問(wèn)題的方法類似，但有兩點(diǎn)值得注意：一是兩人同地背向運(yùn)動(dòng)，從第一次相遇到下次相遇共行一個(gè)全程；二是同地、同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行了一個(gè)全程。二、精講精練【例題1】甲、乙、丙三人沿著湖邊散步，同時(shí)從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)。甲按順時(shí)針?lè)较蛐凶?，乙與丙按逆時(shí)針?lè)较蛐凶摺＜椎谝淮斡龅揭液?分鐘于到丙，再過(guò)3分鐘第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周長(zhǎng)為600米，求丙的速度。甲第一次與乙相遇后到第二西與乙相遇，剛好共行了一圈。甲、乙的速度和為600÷（1+3）=120米/分。甲、乙的速度分別是：120÷（1+）=72（米/分），12072=48（米/分）。甲、丙的速度和為600÷（1+3+1）=96（米/分），這樣，就可以求出丙的速度。列算式為甲、乙的速度和：600÷（1+3）=120（米/分）甲速：120÷（1+）=72（米/分）乙速：12072=48（米/分）甲、丙的速度和：600÷（1+3+1）=96（米/分）丙的速度：9672=24（千米/分）答：丙每分鐘行24米。練習(xí)1：1、甲、乙、丙三人環(huán)湖跑步。同時(shí)從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)，乙、丙兩人同向，甲與乙、丙兩人反向。在甲第一次遇到乙后1分鐘第一次遇到丙；再過(guò)3分鐘第二次遇到途。已知甲速與乙速的比為3：2，湖的周長(zhǎng)為2000米，求三人的速度。2、兄、妹2人在周長(zhǎng)為30米的圓形小池邊玩。從同一地點(diǎn)同時(shí)背向繞水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他們第10次相遇時(shí)，勱還要走多少米才能歸到出發(fā)點(diǎn)？3、如圖34-1所示，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)反向而行，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C點(diǎn)離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米。求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。【例題2】甲、乙兩人在同一條橢圓形跑道上做特殊訓(xùn)練。他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后，立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲的，甲跑第二圈時(shí)的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈時(shí)速度提高了。已知甲、乙兩人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米。這條橢圓形跑道長(zhǎng)多少米？圖34-2圖34-1根據(jù)題意畫圖34-2：甲、乙從A點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，他們的速度比是1：=3：2。第一次相遇時(shí)，他們所行路程比是3：2，把全程平均分成5份，則他們第一次相遇點(diǎn)在B點(diǎn)。當(dāng)甲A點(diǎn)時(shí)，乙又行了2÷3×2=1。這時(shí)甲反西骯而行，速度提高了。甲、乙速度比為3×（1+）：2=2：1，當(dāng)乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，甲反向行了（31）×2=3。這時(shí)乙反向而行，甲、乙的速度比變成了3×（1+）：2×（1+）=5：3。這樣，乙又行了（53）×=，與甲在C點(diǎn)相遇。B、C的路程為190米，對(duì)應(yīng)的份數(shù)為3=2。列式為1：=3：2 2÷3×2=13×（1+）：2=2：1 （31）×2=3 3×（1+）：2×（1+）=5：3（53）×= 190÷（3-）×5=400（米）答：這條橢圓形跑道長(zhǎng)400米。練習(xí)2：1、小明繞一個(gè)圓形長(zhǎng)廊游玩。順時(shí)針走，從A處到C處要12分鐘，從B處到A處要15分鐘，從C處到B處要11分鐘。從A處到B處需要多少分鐘（如圖34-3所示）？圖34-3 圖34-42、摩托車與小汽車同時(shí)從A地出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的路兩邊行駛，結(jié)果在B地相遇。已知B地與C地的距離是4千米。且小汽車的速度為摩托車速度的。這條長(zhǎng)方形路的全長(zhǎng)是多少千米（如圖34-4所示）？3、甲、乙兩人在圓形跑道上，同時(shí)從某地出發(fā)沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍，他們第一次與第二次相遇地點(diǎn)之間的路程是100米。環(huán)形跑道有多少米？【例題3】繞湖的一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行。小王以每小時(shí)4千米速度走1小時(shí)后休息5分鐘，小張以每小時(shí)6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？小張的速度是每小時(shí)6千米，50分鐘走5千米，我們可以把他們出發(fā)后的時(shí)間與行程列出下表：小王時(shí)間1小時(shí)5分2小時(shí)10分3小時(shí)15分行程4千米8千米12千米小張時(shí)間1小時(shí)2小時(shí)3小時(shí)行程5千米10千米15千米12+15=27，比24大，從上表可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間。出發(fā)后2小時(shí)10分，小張已走了10+5÷（50÷10）=11（千米），此時(shí)兩人相距24（8+11）=5（千米）。由于從此時(shí)到相遇以不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需的時(shí)間是5÷（4+6）=0.5（小時(shí)），而2小時(shí)10分+0.5小時(shí)=2小時(shí)40分。小張50分鐘走的路程：6÷60×50=5（千米）小張2小時(shí)10分后共行的路程：10+5÷（50÷10）=11（千米）兩人行2小時(shí)10分后相距的路程：24（8+11）=5（千米）兩人共同行5千米所需時(shí)間：5÷（4+6）=0.5（小時(shí)）相遇時(shí)間：2小時(shí)10分+0.5小時(shí)=2小時(shí)40分練習(xí)3：1、在400米環(huán)行跑道上，A，B兩點(diǎn)相距100米。甲、乙兩人分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿剑酌棵胄?米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒鐘。那么甲追上乙需要多少秒？2、一輛汽車在甲、乙兩站之間行駛。往、返一次共用去4小時(shí)。汽車去時(shí)每小時(shí)行45千米，返回時(shí)每小時(shí)行駛30千米，那么甲、乙兩站相距多少千米？3、龜、兔進(jìn)行10000米跑步比賽。兔每分鐘跑400米，龜每分鐘跑80米，兔每跑5分鐘歇25分鐘，誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)？【例題4】一個(gè)游泳池長(zhǎng)90米。甲、乙二人分別從游泳池的兩端同時(shí)出發(fā)，游到另一端立即返回。找這樣往、返游，兩人游10分鐘。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出發(fā)后的兩分鐘內(nèi)，二人相遇了幾次？設(shè)甲的速度為a，乙的速度為b，a：b的最簡(jiǎn)比為m：n，那么甲、乙在半個(gè)周期內(nèi)共走m+n個(gè)全程。若mn，且m、n都是奇數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)甲、乙相遇了2m次；若mn，且m為奇數(shù)（或偶數(shù)），n為偶數(shù)（或奇數(shù)），在半個(gè)周期末甲、乙同時(shí)在乙（或甲）的出發(fā)位置，一個(gè)周期內(nèi)，甲、乙共相遇（2m1）次。甲速：乙速=3：2，由于32，且一奇數(shù)一偶數(shù)，一個(gè)周期內(nèi)共相遇（2×31=）5次，共跑了（3+2）×2=10個(gè)全程。10分鐘兩人合跑周期的個(gè)數(shù)為：60×10÷90÷（2+3）×10=3（個(gè)）3個(gè)周期相遇（5×3=）15（次）；個(gè)周期相遇2次。一共相遇：15+2=17（次）答：二人相遇了17次。練習(xí)4：1、甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員同時(shí)從游泳池的兩端相向下水做往、返游泳訓(xùn)練。從池的一端到另一端甲要3分鐘，乙要3.2分鐘。兩人下水后連續(xù)游了48分鐘，一共相遇了多少次？2、一游泳池道長(zhǎng)100米，甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員從泳道的兩端同時(shí)下水，做往、返訓(xùn)練15分鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運(yùn)動(dòng)員一共從乙運(yùn)動(dòng)員身邊經(jīng)過(guò)了多少次？3、馬路上有一輛身長(zhǎng)為15米的公共汽車，由東向西行駛，車速為每小時(shí)18千米。馬路一旁人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長(zhǎng)跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑。某一時(shí)刻，汽車追上了甲，6秒爭(zhēng)后汽車離開(kāi)了甲，半分鐘后，汽車遇到迎面跑來(lái)的乙，又經(jīng)過(guò)了2秒鐘，汽車離開(kāi)乙，再過(guò)幾秒鐘，甲、乙兩人相遇？【例題5】甲、乙兩地相距60千米。張明8點(diǎn)從甲地出發(fā)去乙地，前一半時(shí)間平均速度為每分鐘1千米，后一半時(shí)間平均速度為每分鐘0.8千米。張明經(jīng)過(guò)多少時(shí)間到達(dá)乙地？因?yàn)榍耙话霑r(shí)間與后一半時(shí)間相同，所以可假設(shè)為兩人同時(shí)相向而行的情形，這樣我們可以求出兩人合走60千米所需的時(shí)間為60÷（1+0.8）=33分鐘。因此，張明從甲地到乙地的時(shí)間列算式為60÷（1+0.8）×2=66（分鐘）答：張明經(jīng)過(guò)66分鐘到達(dá)乙地。練習(xí)5：1、A、B兩地相距90千米。一輛汽車從A地出發(fā)去B地，前一半時(shí)間平均每小時(shí)行60千米，后一半時(shí)間平均每小時(shí)行40千米。這輛汽車經(jīng)過(guò)多少時(shí)間可以到達(dá)B地？2、甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)背向出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走。甲每分鐘走80米，乙蔑分鐘走50米。兩人至少經(jīng)過(guò)多少分鐘才能在A點(diǎn)相遇？3、在300米的環(huán)行跑道上，甲、乙兩人同時(shí)并排起跑。甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4.4米。兩人起跑后第一次相遇在起跑線前面多少米？