第39講 “牛吃草”問題一、知識要點牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡單，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了。因為草每天走在生長，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。解答這類題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有的草及每天長出的草，問題就容易解決了。二、精講精練【例題1】一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化，解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來的草的數(shù)量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數(shù)量也是不變的。假設(shè)1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份，那么27頭牛6周需要吃27×6=162（份），此時新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23×9=207（份），此時新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數(shù)量與6周新長出的草的數(shù)量的總和；207份是原有的草的數(shù)量與9周新長出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長出的草的份數(shù)為：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的數(shù)量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長草15份相當(dāng)于可安排15頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供21 頭牛吃72÷（21-15）12（周）練習(xí)11、一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，20頭牛吃10天，那么可供19頭牛吃幾天？2、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃幾天？3、牧場上的青草每天都在勻速生長，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？【例題2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少，但是，我們同樣可以利用與例1類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份，20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷的天氣使牧場1天減少青草10份，也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛同時在吃草，所以原有草兩有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧場原有的草可供15頭牛吃10天。由寒冷導(dǎo)致的原因占去10頭牛吃的草，所以可供5頭牛吃10天。練習(xí)2：1、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草以固定速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天或可供24頭牛吃6天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天？3、經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷發(fā)展的需要，地球最多能養(yǎng)活多少億人？【例題3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結(jié)果男孩用5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？與前兩個題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“牛”變成了“速度”，也可以看成是牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5=100（級），女孩6分鐘走了15×6=90（級），女孩比男孩少走了10090=10（級），多用了65=1（分鐘），說明電梯1分鐘走10級。因男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（級）練習(xí)3：1、自動扶梯以均勻速度行駛著，渺小明和小紅從扶梯上樓。已知小明每分鐘走25級臺階，小紅每分鐘走20級臺階，結(jié)果小明用5分鐘，小紅用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級臺階？2、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級臺階，女孩可走24級臺階，男孩走了2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3分鐘到達(dá)另一端，該扶梯共有多少級臺階？3、兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用了6個晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？【例題4】一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完。現(xiàn)在要想2小時舀完，需要多少人？已漏進(jìn)的水，加上3小時漏進(jìn)的水，每小時需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小時才能舀完。已漏進(jìn)的水，加上10小時漏進(jìn)的水，每小時需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小時才能舀完。通過比較，我們可以得出1小時內(nèi)漏進(jìn)的水及船中已漏進(jìn)的水。1小時漏進(jìn)的水，2個人用1小時能舀完：（5×1012×3）÷（103）=2已漏進(jìn)的水：（122）×3=30已漏進(jìn)的水加上2小時漏進(jìn)的水，需34人1小時完成：30+2×2=34用2小時來舀完這些水需要17人：34÷2=17（人）練習(xí)4：1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可以把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？2、有一個長方形的水箱，上面有一個注水孔，底面有一個出水孔，兩孔同時打開后，如果每小時注水30立方分米，7小時可以注滿水箱；如果每小時注水45立方分米，注滿水箱可少用2.5小時。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（設(shè)每小時排水量相同）？3、有一水井，連續(xù)不段涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3臺抽水機來抽水，36分鐘可以抽完；如果使用5臺抽水機，20分鐘抽完。現(xiàn)在12分鐘內(nèi)要抽完井水，需要抽水機多少臺？【例題5】有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少天？前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個水池中，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即5，6，8=120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120÷5=24，變?yōu)?20公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120÷6=20，變?yōu)?20公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。120÷8=15。問題變成：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛齒及天？即每天新長出的草：（240×14264×10）÷（1410）=180（份）草地原有草：（264180）×10=840（份）可供285頭牛吃的時間：840÷（285180）=8（天）答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。練習(xí)5：1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？2、快、中、慢三車同時從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度分別是嵋小時24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用多少小時？3、一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天。現(xiàn)有一群牛吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完。這群牛原來有多少頭？