第27講 表面積與體積（一）一、知識要點小學階段所學的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計算方法，能將公式作適當?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習慣，解題時要認真細致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計算。在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點：（1）充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。（2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應把它們最大的面拼合起來。二、精講精練【例題1】從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？這是一道開放題，方法有多種：按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。按圖27-2所示，在某個面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。按圖27-3所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表面積為672平方厘米。練習1：1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個想同的小廠房體木塊，這兩個小長方體的表面積之和，比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個棱長是4厘米的立方體上挖一個棱長是1厘米的小正方體后，表面積會發(fā)生怎樣的變化？【例題2】把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表面積。要求這個復雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采用（S上+S左+S前）×2來計算。（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2=（81+72+90）×2=243×2=486（平方厘米）答：這個立體圖形的表面積是486平方厘米。練習2：1、用棱長是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個立體圖形的表面積。2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？圖2773、一個正方體的表面積是384平方厘米，把這個正方體平均分割成64個相等的小正方體。每個小正方體的表面積是多少平方厘米？【例題3】把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大，即減少兩個9×7的面。（9×9+9×4+7×4）×2×29×7×2=（63+36+28）×4126=508126=382（平方厘米）答：這個大廠房體的表面積最少是382平方厘米。練習3：1、把底面積為20平方厘米的兩個相等的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是多少？2、將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體。求大長方體的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種做法，其中表面積最小的是多少平方厘米？圖27-8【例題4】一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長方體的表面積。我們知道：體積=長×寬×高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高=40÷2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長×寬=96÷4=24（平方厘米）。而長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）答：原長方體的表面積是148平方厘米。練習4：1、一個長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來廠房體的表面積是多少平方厘米？2、一個廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少？圖279【例題5】如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體。求這個物體的表面積。如果分別求出三個圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計算比較麻煩。實際上三個向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個底面積。這樣，這個物體的表面積就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97（平方米）答：這個物體的表面積是32.97平方米。練習5：1、一個棱長為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個面上，各有一個直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個零件的表面積。2、用鐵皮做一個如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個圓柱形的洞。已知立方體棱長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（取3.14）。