第26講 乘法和加法原理一、知識要點在做一件事情時，要分幾步完成，而在完成每一步時又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用乘法原理來解決。做一件事時有幾類不同的方法，而每一類方法中又有幾種可能的做法就用加法原理來解決。二、精講精練【例題1】由數字0，1，2，3組成三位數，問：可組成多少個不相等的三位數？可組成多少個沒有重復數字的三位數？在確定組成三位數的過程中，應該一位一位地去確定，所以每個問題都可以分三個步驟來完成。要求組成不相等的三位數，所以數字可以重復使用。百位上不能取0，故有3種不同的取法：十位上有4種取法，個位上也有4種取法，由乘法原理共可組成3×4×4=48個不相等的三位數。要求組成的三位數沒有重復數字，百位上不能取0，有三種不同的取法，十位上有三種不同的取法，個位上有兩種不同的取法，由乘法原理共可組成3×3×2=18個沒有重復數字的三位數。練習1：1、有數字1，2，3，4，5，6共可組成多少個沒有重復數字的四位奇數？2、在自然數中，用兩位數做被減數，一位數做減數，共可組成多少個不同的減法算式？3、由數字1，2，3，4，5，6，7，8，可組成多少個：三位數；三位偶數；沒有重復數字的三位偶數；百位是8的沒有重復數字的三位數；百位是8的沒有重復數字的三位偶數?！纠}2】有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6。將兩個正方體放在桌面上，向上的一面數字之和為偶數的有多少種情形？要使兩個數字之和為偶數，就需要這兩個數字的奇、偶性相同，即兩個數字同為奇數或偶數。所以，需要分兩大類來考慮：兩個正方體向上一面同為奇數的共有3×3=9（種）不同的情形；兩個正方體向上一面同為偶數的共有3×3=9（種）不同的情形；兩個正方體向上一面同為偶數的共有3×3+3×3=18（種）不同的情形。練習2：1、在11000的自然數中，一共有多少個數字1？2、在1500的自然數中，不含數字0和1的數有多少個？3、十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來？4、由數字0，1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位偶數？【例題3】書架上層有6本不同的數學書，下層有5本不同的語文書，若任意從書架上取一本數學書和一本語文書，有多少種不同的取法？從書架上任取一本數學書和一本語文書，可分兩個步驟完成，第一步先取數學書，有6種不同的方法，而這6種的每一種取出后，第二步再取語文書，又有5種不同的取法，這樣共有6個5種取法，應用乘法計算6×5=30（種），有30種不同的取法。練習3：1、商店里有5種不同的兒童上衣，4種不同的裙子，媽媽準備為女兒買上衣一件和裙子一條組成一套，共有多少種不同的選法？2、小明家到學校共有5條路可走，從學校到少年宮共有3條路可走。小明從家出發(fā)，經過學校然后到少年宮，共有多少種不同的走法？3、張師傅到食堂吃飯，主食有2種，副食有6種，主、副食各選一種，他有幾種不同的選法？【例題4】在2，3，5，7，9這五個數字中，選出四個數字，組成被3除余2的四位數，這樣的四位數有多少個？從五個數字中選出四個數字，即五個數字中要去掉一個數字，由于原來五個數字相加的和除以3余2，所以去掉的數字只能是3或9。去掉的數字為3時，即選2，5，7，9四個數字，能排出4×3×2×1=24（個）符合要求的數，去掉的數字為9時也能排出24個符合要求得數，因此這樣的四位數一共有24+24=48（個）練習4：1、在1，2，3，4，5這五個數字中，選出四個數字組成被3除余2的四位數，這樣的四位數有多少個？2、在1，2，3，4，5這五個數字中，選出四個數字組成能被3整除的四位數，這樣的四位數有多少個？3、在1，4，5，6，7這五個數字中，選出四個數字組成被3除余1的四位數，這樣的四位數有多少個？【例題5】從學校到少年宮有4條東西的馬路和3條南北的馬路相通（如圖），小明從學校出發(fā)到少年宮（只許向東或向南行進），最后有多少種走法？為了方便解答，把圖中各點用字母表示如圖。根據小明步行規(guī)則，顯然可知由A到T通過AC邊上的各點和AN邊上的各點只有一條路線，通過E點有兩條路線（即從B點、D點來各一條路線），通過H點有3條路線（即從E點來有二條路線，從G點來有一條路線），這樣推斷可知通過任何一個交叉點的路線總數等于通過該點左邊、上方的兩鄰接交叉點的路線的總和，因此，可求得通過S點有4條路線，通過F點有3條路線由此可見，由A點通過T點有10條不同的路線，所以小明從學校到少年宮最多有10種走法。練習5：1、從學校到圖書館有5條東西的馬路和5條南北的馬路相通（如圖）。李菊從學校出發(fā)步行到圖書館（只許向東或向南行進），最多有多少種走法？2、某區(qū)的街道非常整齊（如圖），從西南角A處走到東北角B處，要求走最近的路，一共有多少種不同的走法？3、如圖有6個點，9條線段，一只小蟲從A點出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點。行進中，同一個點或同一條線段只能經過一次，這只小蟲最多有多少種不同的走法？