第40講 不定方程一、知識要點當方程的個數(shù)比方程中未知數(shù)的個數(shù)少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x3y9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無數(shù)個；如果附加一些限制條件，那么它的解的個數(shù)就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6y1 y1.5 y2.1 y3如果限定x、y的解是小于5的整數(shù)，那么解就只有x3，Y2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)來表示，然后再一定范圍內(nèi)試驗求解。解題時要注意觀察未知數(shù)的特點，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，減少試驗的次數(shù)。對于有3個未知數(shù)的不定方程組，可用削去法把它轉化為二元一次不定方程再求解。解答應用題時，要根據(jù)題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當?shù)闹?。二、精講精練【例題1】求3x+4y23的自然數(shù)解。先將原方程變形，y?？闪斜碓囼炃蠼猓篨1234567Y5×××2××所以方程3x+4y23的自然數(shù)解為 X=1 x=5 Y=5 y=2練習11、求3x+2y25的自然數(shù)解。2、求4x+5y37的自然數(shù)解。3、求5x3y16的最小自然數(shù)解?！纠}2】求下列方程組的正整數(shù)解。5x+7y+3z253xy6z2這是一個三元一次不定方程組。解答的實話，要先設法消去其中的一個未知數(shù)，將方程組簡化成例1那樣的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由×2+，得13x+13y52 X+y4 把式變形，得y4x。因為x、y、z都是正整數(shù)，所以x只能取1、2、3.當x1時，y3當x2時，y2當x3時，y1把上面的結果再分別代入或，得x1，y3時，z無正整數(shù)解。 x2，y2時，z也無正整數(shù)解。 x3時，y1時，z1.所以，原方程組的正整數(shù)解為 x1 y1 z1練習2求下面方程組的自然數(shù)解。1、4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例題3】一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，問兩種盒子各有多少個？兩種盒子的個數(shù)都應該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。設大盒子有x個，小盒子有y個，則 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）÷5經(jīng)檢驗，符合條件的解有： x2 x7y15 y3所以，大盒子有2個，小盒子有15個，或大盒子有7個，小盒子有3個。練習3.1、某校6（1）班學生48人到公園劃船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有）2、甲級鉛筆7角錢一枝，乙級鉛筆3角錢一枝，小華用六元錢恰好可以買兩種不同的鉛筆共幾枝？3、小華和小強各用6角4分買了若干枝鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一枝和7分一枝的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多，小華比小強多買來多少枝？【例題4】買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？設蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30xy）千克。根據(jù)題意得： 4x+3y+2×（30xy）82 x10由式子可知：y<20，則y必須是2的倍數(shù)，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211練習41、有紅、黃、藍三種顏色的皮球共26只，其中藍皮球的只數(shù)是黃皮球的9倍，藍皮球有多少只？2、用10元錢買25枝筆。已知毛筆每枝2角，彩色筆每枝4角，鋼筆每枝9角。問每種筆各買幾枝？（每種都要買）3、曉敏在文具店買了三種貼紙；普通貼紙每張8分，熒光紙每張1角，高級紙每張2角。她一共用了一元兩角兩分錢。那么，曉敏的三種貼紙的總數(shù)最少是多少張？【例題5】某次數(shù)學競賽準備例2枝鉛筆作為獎品發(fā)給獲得一、二、三等獎的學生。原計劃一等獎每人發(fā)6枝，二等獎每人發(fā)3枝，三等獎每人發(fā)2枝。后又改為一等獎每人發(fā)9枝，二等獎每人發(fā)4枝，三等獎每人發(fā)1枝。問：一、二、三等獎的學生各有幾人？設一等獎有x人，二等獎有y人，三等獎有z人。則 6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由×2，得12x+5y22 y x1x只能取1。Y2，代入得z5，原方程的解為 y2z5所以，一等獎的學生有1人，二等獎的學生有2人，三等獎的學生有5人。練習51、某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)。他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)各幾發(fā)？2、籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋30個，價值24元。已知煮蛋每個0.60元，茶葉蛋每個1元，皮蛋每個1.20元。問籃子里最多有幾個皮蛋？3、一頭豬賣3個銀幣，一頭山羊賣1個銀幣，一頭綿羊買個銀幣。有人用100個銀幣賣了這三種牲畜100頭。問豬、山羊、綿羊各幾頭？