第37講 對(duì)策問題一、知識(shí)要點(diǎn)同學(xué)們都熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個(gè)故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚(yáng)長(zhǎng)避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理，人們?cè)诟?jìng)賽和爭(zhēng)斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們?cè)诟?jìng)賽和爭(zhēng)斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競(jìng)爭(zhēng)的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會(huì)取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。二、精講精練【例題1】?jī)蓚€(gè)人做一個(gè)移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸。如果開始時(shí)有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時(shí)才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應(yīng)移走7根火柴。練習(xí)1：1、一堆火柴40根，甲、乙兩人輪流去拿，誰拿到最后一根誰勝。每人每次可以拿1至3根，不許不拿，乙讓甲先拿。問：誰能一定取勝？他要取勝應(yīng)采取什么策略？2、兩人輪流報(bào)數(shù)，規(guī)定每次報(bào)的數(shù)都是不超過8的自然數(shù)，把兩人報(bào)的數(shù)累加起來，誰先報(bào)到88，誰就獲勝。問：先報(bào)數(shù)者有必勝的策略嗎？3、把1994個(gè)空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙兩人輪流移動(dòng)棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，誰先移到最后一格誰勝。先移者確保獲勝的方法是什么？【例題2】有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者。現(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取。你認(rèn)為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結(jié)局開始，倒推上去。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時(shí)刻留下5粒棋子就行了。不妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝。練習(xí)2：1、甲、乙兩人輪流從1993粒棋子中取走1?；??；?粒，誰取到最后一粒的是勝利者，你認(rèn)為先取的能獲勝，還是后取的能獲勝，應(yīng)采取什么策略？2、有1997根火柴，甲、乙兩人輪流取火柴，每人每次可取1至10根，誰能取到最后一根誰為勝利者，甲先取，乙后取。甲有獲勝的可能嗎？取勝的策略是什么？3、盒子里有47粒珠子，兩人輪流取，每次最多取5粒，最少取1粒，誰最先把盒子的珠子取完，誰就勝利，小明和小紅來玩這個(gè)取珠子的游戲，先名先、小紅后，誰勝？取勝的策略是什么？【例題3】在黑板上寫有999個(gè)數(shù)：2，3，4，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個(gè)數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個(gè)數(shù)，分為499個(gè)數(shù)對(duì)：（2，3），（4，5），（6，7），（998，999）?？梢娒恳粚?duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對(duì)中的一個(gè)，甲則接著擦去這對(duì)中的另一個(gè)，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對(duì)數(shù)、一對(duì)數(shù)地擦，最后剩下的一對(duì)數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝。練習(xí)3：1、甲、乙兩人輪流從分別寫有1，2，3，99的99張卡片中任意取走一張，先取卡的人能否保證在他取走的第97張卡片時(shí)，使剩下的兩張卡片上的數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)？2、兩個(gè)人進(jìn)行如下游戲，即兩個(gè)人輪流從數(shù)列1，2，3，100，101勾去九個(gè)數(shù)。經(jīng)過這樣的11次刪除后，還剩下兩個(gè)數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)的差是55，這時(shí)判第一個(gè)勾數(shù)的人獲勝。問第一個(gè)勾數(shù)的人能否獲勝？獲勝的策略是什么？3、在黑板上寫n1（n3）個(gè)數(shù)：2，3，4，n。甲、乙兩人輪流在黑板上擦去一個(gè)數(shù)。如果最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則乙勝，否則甲勝。N分別取什么值時(shí)：（1）甲必勝？（2）乙必勝？必勝的策略是什么？【例題4】甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個(gè)寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù)，總共只有10個(gè)數(shù)，可通過歸納試驗(yàn)。甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數(shù)1，2，3，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個(gè)數(shù)中的一個(gè)，將這六個(gè)數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當(dāng)乙寫某組中的一個(gè)數(shù)，甲就寫另一個(gè)數(shù)，甲就能獲勝。練習(xí)4：1、甲、乙兩人輪流在黑板上寫上不超過14的自然數(shù)。書寫規(guī)則是：不允許寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，輪到書寫人無法再寫時(shí)就是輸者?，F(xiàn)甲先寫，乙后寫，誰能獲勝？應(yīng)采取什么對(duì)策？2、甲、乙兩人輪流從分別寫有3，4，5，11的9張卡片中任意取走一張，規(guī)定取卡人不能取已取過的數(shù)的倍數(shù)，輪到誰無法再取時(shí)，誰就輸?，F(xiàn)甲先取，乙后取，甲能否必然獲繩？應(yīng)采取的對(duì)策是什么？3、甲、乙兩人輪流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5粒或7粒棋子。甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者為勝者。甲、乙兩人誰能獲勝？【例題5】有一個(gè)3×3的棋盤以及9張大小為一個(gè)方格的卡片如圖37-1所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個(gè)數(shù)。小兵和小強(qiáng)兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計(jì)算上、下兩行6個(gè)數(shù)的和；小強(qiáng)計(jì)算左、右兩列6個(gè)數(shù)的和，和數(shù)大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？如圖37-1所示，由于4個(gè)角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A，B，C，D這4個(gè)格中的數(shù)有關(guān)。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將小數(shù)填入B格或D格。由于1+103+9，即B+DA+C，小兵應(yīng)先將1放在B格，如小強(qiáng)把10放進(jìn)D格，小兵再把9放進(jìn)A格，這時(shí)不論小強(qiáng)怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強(qiáng)把3放進(jìn)A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。練習(xí)5：1、在5×5的棋盤的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下對(duì)角線走一格。兩人交替走，誰為勝者。必勝的策略是什么？2、甲、乙兩人輪流往一個(gè)圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是每人每次只能放一枚，硬幣不能重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對(duì)方再無處可放，誰就獲勝。如果甲先放，那么他怎樣才能取勝？3、兩人輪流在3×3的方格中畫“”和“×”，規(guī)定每人每次至少畫一格，至多畫三格，所有的格畫滿后，誰畫的符號(hào)總數(shù)為偶數(shù)，誰就獲勝。誰有獲勝的策略？