第29講 抽屜原理（一）一、知識(shí)要點(diǎn)如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個(gè)抽屜里，那么可以肯定有一個(gè)抽屜里至少有2盒餅干。如果把4封信投到3個(gè)郵箱中，那么可以肯定有一個(gè)郵箱中至少有2封信。如果把3本聯(lián)練習(xí)冊(cè)分給兩位同學(xué)，那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到2本練習(xí)冊(cè)。這些簡(jiǎn)單內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理”?；镜某閷显碛袃蓷l：（1）如果把x+k（k1）個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有2個(gè)或2個(gè)以上的元素。（2）如果把m×x×k（xk1）個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有m+1個(gè)或更多個(gè)元素。利用抽屜原理解題時(shí)要注意區(qū)分哪些是“抽屜”？哪些是“元素”？然后按以下步驟解答：a、構(gòu)造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說(shuō)明理由，得出結(jié)論。本周我們先來(lái)學(xué)習(xí)第（1）條原理及其應(yīng)用。二、精講精練【例題1】某校六年級(jí)有學(xué)生367人，請(qǐng)問(wèn)有沒(méi)有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天？為什么？把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學(xué)生人數(shù)看成是元素。把367個(gè)元素放到366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有2個(gè)元素，即至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天。平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數(shù)看做抽屜，共366個(gè)抽屜。把367個(gè)人分別放入366個(gè)抽屜中，至少在一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此，肯定有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天。練習(xí)1：1、某校有370名1992年出生的學(xué)生，其中至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天，為什么？2、某校有30名學(xué)生是2月份出生的，能否至少有兩個(gè)學(xué)生生日是在同一天？3、15個(gè)小朋友中，至少有幾個(gè)小朋友在同一個(gè)月出生？【例題2】某班學(xué)生去買語(yǔ)文書、數(shù)學(xué)書、外語(yǔ)書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問(wèn)至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7種類型，把7種類型看成7個(gè)抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個(gè)抽屜里有2人，那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù)。所以至少要去7+1=8（個(gè)）學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3種。買二本的：有語(yǔ)文和數(shù)學(xué)、語(yǔ)文和外語(yǔ)、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)3種。買三本的：有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)1種。3+3+1=7（種）把7種類型看做7個(gè)抽屜，要保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書，至少要去8位學(xué)生。練習(xí)2：1、某班學(xué)生去買語(yǔ)文書、數(shù)學(xué)書、外語(yǔ)書、美術(shù)書、自然書。買書的情況是：有買一本的、二本的、三本或四本的。，問(wèn)至少要去幾位學(xué)生才能保證一定有兩位同學(xué)買到相同的書（每種書最多買一本）？2、學(xué)校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個(gè)學(xué)生從中任意借兩本，那么至少要幾個(gè)同學(xué)才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種？3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問(wèn)最少要取出多少個(gè)珠子才能保證有兩個(gè)同色的？【例題3】一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種。問(wèn)最少要摸出多少只手套才能保證有3副同色的？把四種不同的顏色看成是4個(gè)抽屜，把手套看成是元素，要保證有1副同色的，就是1個(gè)抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后，4個(gè)抽屜中還剩下3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看成是4個(gè)抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有一副就要摸出5只手套。這時(shí)拿出1副同色的后，4個(gè)抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套才能保證有3副同色的。練習(xí)3：1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種。問(wèn)最少要摸出多少只手套才能保證有4副同色的？2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍(lán)三種。問(wèn)：最少要摸出多少只襪子，才能保證有3雙同色的？3、一個(gè)布袋里有紅、黃、藍(lán)色襪子各8只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有2雙不同襪子？【例題4】任意5個(gè)不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是4的倍數(shù)，這是為什么？一個(gè)自然數(shù)除以4的余數(shù)只能是0，1，2，3。如果有2個(gè)自然數(shù)除以4的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差就是4的倍數(shù)。一個(gè)自然數(shù)除以4的余數(shù)可能是0，1，2，3，所以，把這4種情況看做時(shí)個(gè)抽屜，把任意5個(gè)不相同的自然數(shù)看做5個(gè)元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4的倍數(shù)。所以，任意5個(gè)不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是4的倍數(shù)。練習(xí)4：1、任意6個(gè)不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)，這是為什么？2、任意取幾個(gè)不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是8的倍數(shù)？3、證明在任意的（n+1）個(gè)不相同的自然數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)之差為n的倍數(shù)。【例題5】能否在圖29-1的5行5列方格表的每個(gè)空格中，分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，使得每行、每列及對(duì)角線AD、BC上的各個(gè)數(shù)的和互不相同？由圖29-1可知：所有空格中只能填寫1或2或3。因此每行、每列、每條對(duì)角線上的5個(gè)數(shù)的和最小是1×5=5，最大是3×5=15。從5到15共有11個(gè)互不相同的整數(shù)值，把這11個(gè)值看承11個(gè)抽屜，把每行、每列及每條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和抽屜的個(gè)數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的。因?yàn)槊啃?、每列、每條對(duì)角線上的5個(gè)數(shù)的和最小是5，最大是15，從5到15共有11個(gè)互不相同的整數(shù)值。而5行、5列及兩條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和共有12個(gè)，所以，這12條線上的各個(gè)數(shù)的和至少有兩個(gè)是相同的。練習(xí)5：1、能否在6行6列方格表的每個(gè)空格中，分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，使得每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和互不相同？為什么？2、證明在8×8的方格表的每個(gè)空格中，分別填上3，4，5這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，在每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和中至少有兩個(gè)和是相同的。3、在3×9的方格圖中（如圖29-2所示），將每一個(gè)小方格涂上紅色或者藍(lán)色，不論如何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？