選修2-2 1.1.3一、選擇題1已知曲線yx22上一點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的切線的傾斜角為()A30°B45°C135°D165°答案B解析yx22，y x.y|x11.點(diǎn)P處切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45°.故選B.2如果曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為x2y30，那么()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0Df(x0)不存在答案B解析切線x2y30的斜率k，即f(x0)0.故選B.3下列說法正確的是()A若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處就沒有切線B若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)必存在C若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率不存在D若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率不存在，則曲線在該點(diǎn)處就沒有切線答案C解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在某點(diǎn)處的切線斜率為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，因此C正確故選C.4(2020·新課標(biāo)全國卷文，4)曲線yx32x1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()Ayx1Byx1Cy2x2Dy2x2答案A解析本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時應(yīng)首先驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上，然后通過求導(dǎo)得出切線的斜率，題目定位于簡單題由題可知，點(diǎn)(1,0)在曲線yx32x1上，求導(dǎo)可得y3x22，所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k1，切線過點(diǎn)(1,0)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)(1,0)的曲線yx32x1的切線方程為yx1，故選A.5曲線y在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是()Axy20Bxy20Cy1(x1)Dy1(x1)答案B解析斜率k 1.所以切線方程為y11×(x1)故選B.6設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 1，則過曲線yf(x)上點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為()A2B1C1D2答案B解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義知f(1)1.故選B.7已知曲線y2ax21過點(diǎn)(，3)，則該曲線在該點(diǎn)的切線方程是()Ay4x1By4x1Cy4x8Dy4x或y4x4答案B解析由32a()21得a1或a1(舍)又y|x14，所以切線方程為y34(x1)，即y4x1.故選B.8(2020·遼寧文，12)已知點(diǎn)P在曲線y上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是()A0，)B，)C(，D，)答案D解析考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、均值不等式及三角不等式y(tǒng)tanx，ex0ex 2(當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號)ex24，01，1tan0，0，)，)故選D.9yax21的圖象與直線yx相切，則a()A.B.C.D1答案B解析y2ax，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則2ax01，x0.切點(diǎn)在直線yx上，y0代入yax21得1a.故選B.10曲線yx3x2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y4x1，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是()A(1,0)B(1，4)C(1,0)或(1，4)D(0,1)或(4,1)答案C解析設(shè)P0(x0，y0)，則f(x0) 3x14，所以x0±1.因此P0(1,0)或(1，4)故選C.二、填空題11曲線yx23x在點(diǎn)P處的切線平行于x軸，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案解析y2x3，令y0，得x，代入曲線方程yx23x得y.12拋物線yx2在點(diǎn)P處的切線平行于直線y4x5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(2,4)解析 2x，令2x4，x2，即在點(diǎn)(2,4)處的切線平行于直線y4x5.13曲線f(x)x3在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，則該曲線在點(diǎn)A處的切線方程為_答案3xy20或3xy20解析設(shè)點(diǎn)A(x0，x)，則kf(x0)3x3.x0±1.切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1，1)，所求的切線方程為y13(x1)或y13(x1)，即3xy20或3xy20.14過點(diǎn)P(1,2)且與曲線y3x24x2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是_答案2xy40解析y6x4，y|x12.所求直線的斜率為2，所以所求直線的方程為y22(x1)，即2xy40.三、解答題15已知曲線y2x2上的點(diǎn)(1,2)，求過該點(diǎn)且與過該點(diǎn)的切線垂直的直線方程解析因?yàn)閒(1) 4，所以過點(diǎn)(1,2)的切線的斜率為4.設(shè)過點(diǎn)(1,2)與過該點(diǎn)的切線垂直的直線的斜率為k，則4k1，k，所以所求直線方程為y2(x1)，即x4y90.16求曲線yx3在點(diǎn)(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積解析因?yàn)閒(3) 27，所以在點(diǎn)(3,27)處的切線方程為y2727(x3)，即y27x54.此切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，(0，54)，所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S×2×5454.17試求過點(diǎn)M(1,1)且與曲線yx31相切的直線方程解析3xx3x2(x)2， 3x2，因此y3x2.設(shè)過(1,1)點(diǎn)的切線與yx31相切于點(diǎn)P(x0，x1)，據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)P處的切線的斜率為k3x，過(1,1)點(diǎn)的切線的斜率k，由得，3x，解之得x00或x0，所以k0或k，因此yx31過點(diǎn)M(1,1)的切線方程有兩條，分別為y1(x1)和y1，即27x4y230和y1.18已知曲線yx21與yx31在x0點(diǎn)的切線互相垂直，求x0的值解析函數(shù)yx21在x0處的導(dǎo)數(shù)為：y|xx0 2x0.函數(shù)yx31在x0處的導(dǎo)數(shù)為：y|xx0 3x，兩曲線在x0處的切線互相垂直，顯然兩切線的斜率都存在，2x0·3x1，解得x0.