第七章 不等式第一部分 三年高考薈萃2011年高考題一、選擇題1.（重慶理7）已知a0，b0，a+b=2，則y=的最小值是A B4 C D5【答案】C2.（浙江理5）設(shè)實數(shù)滿足不等式組若為整數(shù)，則的最小值是A14 B16 C17 D19【答案】B3.（全國大綱理3）下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是A B C D【答案】A4.（江西理2）若集合，則 A B C D【答案】B5.（遼寧理9）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（A），2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）【答案】D6.（湖南理7）設(shè)m1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m 的取值范圍為A（1，） B（，） C（1,3 ） D（3，）【答案】A7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a  b若x,y滿足不等式，則z的取值范圍為A-2，2 B-2，3 C-3，2 D-3，3【答案】D8.（廣東理5）。已知在平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定。若為上的動點，點的坐標(biāo)為，則的最大值為 ABC4 D3【答案】C9.（四川理9）某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車某天需運往地至少72噸的貨物，派用的每輛車虛滿載且只運送一次派用的每輛甲型卡車虛配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車虛配1名工人，運送一次可得利潤350元該公司合理計劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z=A4650元 B4700元 C4900元 D5000元【答案】C【解析】由題意設(shè)派甲，乙輛，則利潤，得約束條件畫出可行域在的點代入目標(biāo)函數(shù)10.（福建理8）已知O是坐標(biāo)原點，點A（-1,1）若點M（x,y）為平面區(qū)域，上的一個動點，則·的取值范圍是A-10 B01 C02 D-12【答案】C11.（安徽理4）設(shè)變量的最大值和最小值分別為（A）1，1 （B）2，2 （C） 1，2 （D） 2，1【答案】B12.（上海理15）若，且，則下列不等式中，恒成立的是 A B CD D【答案】二、填空題13.（陜西理14）植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米。開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）?！敬鸢浮?00014.（浙江理16）設(shè)為實數(shù)，若則的最大值是 ?！敬鸢浮?5.（全國新課標(biāo)理13）若變量x，y滿足約束條件，則的最小值是_【答案】-6 16.（上海理4）不等式的解為 ?！敬鸢浮炕?7.（廣東理9）不等式的解集是 【答案】18.（江蘇14）設(shè)集合, , 若則實數(shù)m的取值范圍是_【答案】三、解答題19.（安徽理19） （）設(shè)證明，（），證明.本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知識，考查代數(shù)式的恒等變形能力和推理論證能力.證明：（I）由于，所以將上式中的右式減左式，得從而所要證明的不等式成立.（II）設(shè)由對數(shù)的換底公式得于是，所要證明的不等式即為其中故由（I）立知所要證明的不等式成立.20.（湖北理17） 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)（）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式;（）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。（滿分12分）解：（）由題意：當(dāng)；當(dāng)再由已知得故函數(shù)的表達(dá)式為 （）依題意并由（）可得當(dāng)為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為60×20=1200；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立。所以，當(dāng)在區(qū)間20，200上取得最大值綜上，當(dāng)時，在區(qū)間0，200上取得最大值。即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時。21.（湖北理21） （）已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；（）設(shè)，均為正數(shù)，證明：（1）若，則；（2）若=1，則本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想。（滿分14分） 解：（I）的定義域為，令 當(dāng)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)； 當(dāng)時，內(nèi)是減函數(shù)； 故函數(shù)處取得最大值 （II）（1）由（I）知，當(dāng)時， 有 ，從而有， 得， 求和得 即 （2）先證 令 則于是 由（1）得，即 再證 記， 則， 于是由（1）得 即 綜合，（2）得證。2020年高考題一、選擇題1.（2020上海文）15.滿足線性約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值是 （ ）（A）1. （B）. （C）2. （D）3.答案 C解析：當(dāng)直線過點B(1,1)時，z最大值為22.（2020浙江理）（7）若實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實數(shù)（A） （B） （C）1 （D）2答案 C解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題3.（2020全國卷2理）（5）不等式的解集為（A） （B）（C） （D）【答案】C【命題意圖】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.【解析】利用數(shù)軸穿根法解得-2x1或x3，故選C4.（2020全國卷2文）(5)若變量x,y滿足約束條件 則z=2x+y的最大值為（A）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C：本題考查了線性規(guī)劃的知識。 作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)線，可得直線與 與的交點為最優(yōu)解點，即為（1，1），當(dāng)時5.（2020全國卷2文）（2）不等式0的解集為（A） （B） （C） （D）【解析】A ：本題考查了不等式的解法 ， ，故選A6.（2020江西理）3.不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A【解析】考查絕對值不等式的化簡.絕對值大于本身，值為負(fù)數(shù).，解得A。或者選擇x=1和x=-1,兩個檢驗進(jìn)行排除。7.（2020安徽文）（8）設(shè)x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8答案 C【解析】不等式表示的區(qū)域是一個三角形，3個頂點是，目標(biāo)函數(shù)在取最大值6?！疽?guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值.8.（2020重慶文）（7）設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)直線過點B時，在y軸上截距最小，z最大由B（2,2）知4解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，可知答案選A，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題10.（2020重慶理數(shù)）（7）已知 x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A.3 B.4 C. D. 答案 B解析：考察均值不等式，整理得 即，又， 11.（2020重慶理數(shù)）（4）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示當(dāng)直線過點B（3,0）的時候，z取得最大值612.（2020北京理）（7）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點，則a 的取值范圍是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 答案：A13.（2020四川理）（12）設(shè)，則的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解析： 0224當(dāng)且僅當(dāng)a5c0,ab1,a(ab)1時等號成立如取a,b,c滿足條件.答案：By0x70488070(15,55)14.（2020四川理）（7）某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為（A）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱（B）甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱（C）甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱（D）甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案：B 解析：設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱則目標(biāo)函數(shù)z280x300y結(jié)合圖象可得：當(dāng)x15,y55時z最大本題也可以將答案逐項代入檢驗.15.（2020天津文）(2)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y的最大值為（A）12 （B）10 （C）8 （D）2【答案】B【解析】本題主要考查目標(biāo)函數(shù)最值的求法，屬于容易題，做出可行域，如圖由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過直線y=1與x+y=3的交點（2，1）時z取得最大值10.16.（2020福建文）17.（2020全國卷1文）（10）設(shè)則（A）（B） (C) (D) 答案C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,c=,而,所以c<a,綜上c<a<b.【解析2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，c<a<b18.（2020全國卷1文）(3)若變量滿足約束條件則的最大值為(A)4 (B)3 (C)2 (D)1答案B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力.xAL0A【解析】畫出可行域（如右圖），由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點A(1,-1)時，z最大，且最大值為.19.（2020全國卷1理）（8）設(shè)a=2,b=ln2,c=,則（A） a<b<c （B）b<c<a （C） c<a<b （D） c<b<a20.（2020全國卷1理）21.（2020四川文）（11）設(shè)，則的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4答案：D解析：224 當(dāng)且僅當(dāng)ab1,a(ab)1時等號成立如取a,b滿足條件.22.（2020四川文）y0x70488070(15,55)（8）某加工廠用某原料由車間加工出產(chǎn)品，由乙車間加工出產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克產(chǎn)品，每千克產(chǎn)品獲利40元.乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克產(chǎn)品，每千克產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計劃為（A）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱（B）甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱（C）甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱（D）甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案：B解析：解析：設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱則目標(biāo)函數(shù)z280x300y結(jié)合圖象可得：當(dāng)x15,y55時z最大本題也可以將答案逐項代入檢驗.23.（2020山東理）24.（2020福建理）8設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對稱,對于中的任意一點A與中的任意一點B, 的最小值等于( )A B4 C D2【答案】B【解析】由題意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點到直線的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為，所以選B。二、填空題1.（2020上海文）2.不等式的解集是 ?！敬鸢浮拷馕觯嚎疾榉质讲坏仁降慕夥ǖ葍r于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<22.（2020陜西文）14.設(shè)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為 .【答案】5解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)直線z3xy過點C（2,1）時，在y軸上截距最小此時z取得最大值53.（2020遼寧文）（15）已知且，則的取值是 .（答案用區(qū)間表示）【答案】 【解析】填. 利用線性規(guī)劃，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，即可求解.4.（2020遼寧理）（14）已知且，則的取值范圍是_（答案用區(qū)間表示）【答案】（3，8）【命題立意】本題考查了線性規(guī)劃的最值問題，考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合解決問題的能力?！窘馕觥慨嫵霾坏仁浇M表示的可行域，在可行域內(nèi)平移直線z=2x-3y，當(dāng)直線經(jīng)過x-y=2與x+y=4的交點A（3，1）時，目標(biāo)函數(shù)有最小值z=2×3-3×1=3；當(dāng)直線經(jīng)過x+y=-1與x-y=3的焦點A（1，-2）時，目標(biāo)函數(shù)有最大值z=2×1+3×2=8.5.（2020安徽文）(15)若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是 (寫出所有正確命題的編號)； ； ； ； 【答案】，【解析】令，排除；由，命題正確；，命題正確；，命題正確。6.（2020浙江文）（15）若正實數(shù)X，Y 滿足2X+Y+6=XY ， 則XY 的最小值是 。【答案】187.（2020山東文）（14）已知，且滿足，則xy的最大值為 .【答案】38.（2020北京文）（11）若點p（m，3）到直線的距離為4，且點p在不等式3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m= ?！敬鸢浮?39.（2020全國卷1文）(13)不等式的解集是 .【答案】【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法【解析】: ，數(shù)軸標(biāo)根得：10.（2020全國卷1理）(13)不等式的解集是 .11.（2020湖北文）12.已知：式中變量滿足的束條件則z的最大值為_?！敬鸢浮?【解析】同理科12.（2020山東理）13.（2020安徽理）14.（2020安徽理）13、設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為_。【答案】 4【解析】不等式表示的區(qū)域是一個四邊形，4個頂點是，易見目標(biāo)函數(shù)在取最大值8，所以，所以，在時是等號成立。所以的最小值為4.【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點坐標(biāo)代入得，要想求的最小值，顯然要利用基本不等式.15.（2020湖北理）12.已知，式中變量，滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】5【解析】依題意，畫出可行域（如圖示），則對于目標(biāo)函數(shù)y=2x-z，當(dāng)直線經(jīng)過A（2，1）時，z取到最大值，.16.（2020湖北理）15.設(shè)a>0,b>0,稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓。過點C作AB的垂線交半圓于D。連結(jié)OD，AD，BD。過點C作OD的垂線，垂足為E。則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段 的長度是a,b的調(diào)和平均數(shù)?！敬鸢浮緾D DE【解析】在RtADB中DC為高，則由射影定理可得，故，即CD長度為a,b的幾何平均數(shù)，將OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的長度為a,b的調(diào)和平均數(shù).17.（2020江蘇卷）12、設(shè)實數(shù)x,y滿足38，49，則的最大值是 ?！敬鸢浮?27【解析】考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想。，的最大值是27。三、解答題1.（2020廣東理）19.（本小題滿分12分） 某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C. 如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？解：設(shè)該兒童分別預(yù)訂個單位的午餐和晚餐，共花費元，則。 可行域為12 x+8 y 646 x+6 y 426 x+10 y 54x0， xN y0， yN 即3 x+2 y 16 x+ y 73 x+5 y 27x0， xN y0， yN 作出可行域如圖所示： 經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=4,y=3 時，花費最少，為=2.5×4+4×3=22元2.（2020廣東文）19.（本題滿分12分）某營養(yǎng)師要求為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？解：設(shè)為該兒童分別預(yù)訂個單位的午餐和個單位的晚餐，設(shè)費用為F，則F，由題意知： 畫出可行域：變換目標(biāo)函數(shù)：3.（2020湖北理）15.設(shè)a>0,b>0,稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓。過點C作AB的垂線交半圓于D。連結(jié)OD，AD，BD。過點C作OD的垂線，垂足為E。則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段 的長度是a,b的調(diào)和平均數(shù)。【答案】CD DE【解析】在RtADB中DC為高，則由射影定理可得，故，即CD長度為a,b的幾何平均數(shù)，將OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的長度為a,b的調(diào)和平均數(shù).2020年高考題第一節(jié) 簡單不等式及其解法一、選擇題1.（2020安徽卷理）下列選項中，p是q的必要不充分條件的是 A.p:b+d , q:b且cd B.p:a1,b>1 q:的圖像不過第二象限 C.p: x=1, q: D.p:a1, q: 在上為增函數(shù) 答案 A解析 由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可舉反例。選A。2.（2020安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件答案 A解析 易得時必有.若時，則可能有，選A。3.（2020四川卷文）已知，為實數(shù)，且.則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件答案 B 解析 顯然，充分性不成立.又，若和都成立，則同向不等式相加得 即由“”“”4.（2020天津卷理）,若關(guān)于x 的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則A. B. C. D.答案 C5.（2020四川卷理）已知為實數(shù)，且。則“”是“”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【考點定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡單邏輯，基礎(chǔ)題。（同文7）答案 B解析 推不出；但，故選擇B。解析2：令，則；由可得，因為，則，所以。故“”是“”的必要而不充分條件。6.（2020重慶卷理）不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）AB C D答案 A解析 因為對任意x恒成立，所以二、填空題7.（2020年上海卷理）若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是_ . 答案 解析 依題意，得： (-1)2×(9x-24)0，解得： 三、解答題8.（2020江蘇卷）(本小題滿分16分) 按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為. 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時，求證：=； (2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。 解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力。滿分16分。(1)當(dāng)時，, = （2）當(dāng)時，由，故當(dāng)即時， 甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。（3）（方法一）由（2）知：=由得：， 令則，即：。同理，由得：另一方面，當(dāng)且僅當(dāng)，即=時，取等號。所以不能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。 第二節(jié) 基本不等式一、 選擇題 1.（2020天津卷理）設(shè)若的最小值為 A . 8 B . 4 C. 1 D. 考點定位 本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力。答案 C解析 因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立，故選擇C2.（2020重慶卷文）已知，則的最小值是（ ）A2BC4D5答案 C解析 因為當(dāng)且僅當(dāng)，且 ，即時，取“=”號。二、填空題 3.（2020湖南卷文）若，則的最小值為 .答案 2解析 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.三、解答題4.（2020湖北卷文）（本小題滿分12分） 圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)。（）將y表示為x的函數(shù)： （）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。解：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+ (II).當(dāng)且僅當(dāng)225x=時，等號成立.即當(dāng)x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元. 第三節(jié) 不等式組與簡單的線性規(guī)劃一、選擇題x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 1. (2020山東卷理)設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12，則的最小值為( ). A. B. C. D. 4答案 A解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.2.（2020安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是 A. B. C. D. 答案 BAxDyCOy=kx+解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，設(shè)與的交點為D，則由知，選A。 3.（2020安徽卷文）不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積等于A. B.C. D.解析 由可得，故陰 =，選C。答案 C4.（2020四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元答案 D（3，4）（0，6）O（，0）913解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸 3 則有： 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標(biāo)，經(jīng)驗證知： 當(dāng)3，5時可獲得最大利潤為27萬元，故選D5.（2020寧夏海南卷理）設(shè)x,y滿足A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無最大值C.有最大值3，無最小值 D.既無最小值，也無最大值答案 B解析 畫出可行域可知，當(dāng)過點（2，0）時，但無最大值。選B.6.（2020寧夏海南卷文）設(shè)滿足則A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無最大值C.有最大值3，無最小值 D.既無最小值，也無最大值 答案 B解析 畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z2，無最大值，故選.B7.(2020湖南卷理)已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 在區(qū)域D內(nèi) 的弧長為 BA . B. C. D. 答案 B解析 解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對弧長即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長是，故選B現(xiàn)。8.（2020天津卷理）設(shè)變量x，y滿足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為 A.6 B.7 C.8 D.23答案 B【考點定位】本小考查簡單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。解析 畫出不等式表示的可行域，如右圖， 讓目標(biāo)函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點B自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組得，所以，故選擇B。 9.（2020四川卷理）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B 原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元 答案 D【考點定位】本小題考查簡單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。（同文10）解析 設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤最大，故本題即已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最大 值，可求出最優(yōu)解為，故，故選 擇D。10.（2020福建卷文）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D解析 如圖可得黃色即為滿足 的直線恒過（0，1），故看作直線繞點（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當(dāng)a=3時，面積恰好為2，故選D.二、填空題11.（2020浙江理）若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是 答案 4 解析 通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時，12.（2020浙江卷文）若實數(shù)滿足不等式組則的最小是 【命題意圖】此題主要是考查了線性規(guī)劃中的最值問題，此題的考查既體現(xiàn)了正確畫線性區(qū)域的要求，也體現(xiàn)了線性目標(biāo)函數(shù)最值求解的要求解析 通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時，13.（2020北京文）若實數(shù)滿足則的最大值為 .答案 9解析：本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 如圖，當(dāng)時，為最大值. 故應(yīng)填9.14.（2020北京卷理）若實數(shù)滿足則的最小值為_.答案 解析 本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 如圖，當(dāng)時， 為最小值.故應(yīng)填.15.(2020山東卷理)不等式的解集為 . 答案 解析 原不等式等價于不等式組或或不等式組無解,由得,由得,綜上得,所以原不等式的解集為. 16.(2020山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元,設(shè)備乙每天的租賃費為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費最少為_元. 答案 2300解析 設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品 設(shè)備 A類產(chǎn)品 (件)(50) B類產(chǎn)品 (件)(140) 租賃費 (元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則滿足的關(guān)系為即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對應(yīng)的直線過兩直線的交點(4,5)時，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元. 【命題立意】:本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題. 17.（2020上海卷文） 已知實數(shù)x、y滿足 則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是_. 答案 9解析 畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標(biāo)函數(shù)化為：z，畫直線及其平行線，當(dāng)此直線經(jīng)過點A時，z的值最大，z的值最小，A點坐標(biāo)為（3,6），所以，z的最小值為：32×69。第二部分 兩年模擬題2020屆高三模擬題題組一一、 選擇題1. （福建省廈門外國語學(xué)校2020屆高三11月月考理）已知滿足約束條件，則的最小值是（ ） A15 B18 C26 D20答案 B.2（甘肅省天水一中2020屆高三上學(xué)期第三次月考試題理）設(shè)滿足約束條件：，則的最小值為（）A6 B 答案 B.3、（河南省輝縣市第一中學(xué)2020屆高三11月月考理）若，則A BCD答案 D.4.（湖北省黃岡市浠水縣市級示范高中2020屆高三12月月考）不等式的解集為( )A. B.C. D.答案 C.5.（河南省輝縣市第一中學(xué)2020屆高三11月月考理）設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為D， P（）為D內(nèi)的一個動點，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（A） （B） （C）0 （D）答案 B.6（廣東省惠州三中2020屆高三上學(xué)期第三次考試?yán)恚┎坏仁降慕饧癁?則函數(shù)的圖象為（ ）答案 C.7.（湖北省黃岡市浠水縣市級示范高中2020屆高三12月月考）不等式的解集為( )A. B.C. D.答案 C.8（湖北省南漳縣一中2020年高三第四次月考文）已知0<a<b<1，則 A3b3a B> C (lga)2<(lgb)2 D()a<()b答案 A.9（湖北省武漢中學(xué)2020屆高三12月月考理）設(shè)的最小值是（ ）A2BCD答案 C.二、 填空題10（甘肅省天水一中2020屆高三上學(xué)期第三次月考試題理）已知二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)對任意，都有成立，設(shè)向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），當(dāng)0，時，不等式f（）f（）的解集為 。答案 11（河南省長葛第三實驗高中2020屆高三期中考試?yán)恚┤艉褪欠匠痰膬蓚€實根，不等式 對任意實數(shù)恒成立，則的取值范圍是 答案 12（湖北省武漢中學(xué)2020屆高三12月月考文）不等式的解集為 。答案 13（湖北省武漢中學(xué)2020屆高三12月月考文）區(qū)域D的點滿足不等式組，若一個圓C落在區(qū)域D中，那么區(qū)域D中的最大圓C的半徑為 。答案 14、（湖北省武穴中學(xué)2020屆高三12月月考理）若a+1>0,則不等式的解集為 答案 15.（湖南省長沙市第一中學(xué)2020屆高三第五次月考理）已知函數(shù)f(x)|x2|，若a0，且a，bR，都有不等式|ab|ab|a|·f(x)成立，則實數(shù)x的取值范圍是 .答案 0,4.解：|ab|ab|a|·f(x)及a0得f(x)恒成立，而2，則f(x)2，從而|x2|2，解得0x4.16（寧夏銀川一中2020屆高三第五次月考試題全解全析理） 已知實數(shù)的最小值為 【答案】?！痉治觥慨嫵銎矫鎱^(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點確定其取得最小值的點，即可求出其最小值?！窘馕觥坎坏仁浇M所表示的平面區(qū)域，如圖所示。顯然目標(biāo)函數(shù)在點處取得最小值?！究键c】不等式?！军c評】本題考查不等式組所表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題。在線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)取得最值的點一定是區(qū)域的頂點和邊界，在邊界上的值也等于在這個邊界上的頂點的值，故在解答選擇題或者填空題時，只要能把區(qū)域的頂點求出，直接把頂點坐標(biāo)代入進(jìn)行檢驗即可。三、 解答題17.（河南省輝縣市第一中學(xué)2020屆高三11月月考理）(本題13分)已知函數(shù)為奇函數(shù)。(1)求并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)解不等式答案 14.18（河南省長葛第三實驗高中2020屆高三期中考試?yán)恚ū拘☆}滿分10分）選修45：不等式選講 （I）已知都是正實數(shù)，求證：；（II）設(shè)函數(shù)，解不等式答案 （1）證明：（），又， （5分）法二：，又，展開得，移項，整理得 （5分）不等式選講解：（法一）令y=|2x+1|-|x-4|，則y=2分作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖象，它與直線的交點為和 4分所以的解集為5分解：（法二）19（寧夏銀川一中2020屆高三第五次月考試題全解全析理）（本小題滿分12分）在交通擁擠地段，為了確保交通安全，規(guī)定機動車相互之間的距離（米）與車速（千米/小時）需遵循的關(guān)系是（其中（米）是車身長,為常量）,同時規(guī)定（1）當(dāng)時，求機動車車速的變化范圍；（2）設(shè)機動車每小時流量，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，使機動車每小時流量最大【分析】（1）把代入，解這個關(guān)于的不等式即可；（2）根據(jù)滿足的不等式，以最小車距代替，求此時的最值即可?！窘馕觥浚?） =av2, v=25, 0<v25,6分 （2） 當(dāng)v25時, Q=, Q是v的一次函數(shù)，v=25，Q最大為，當(dāng)v>25時, Q=, 當(dāng)v=50時Q最大為12分【點評】不等式【點評】本題考查函數(shù)建模和基本不等式的應(yīng)用。本題中對車距有兩個限制條件，這兩個條件是在不同的車速的情況下的限制條件，解題中容易出現(xiàn)的錯誤是不能正確的使用這兩個限制條件對函數(shù)的定義域進(jìn)行分類，即在車速小于或等于時，兩車之間的最小車距是，當(dāng)車速大于時，兩車之間的最小車距是。20（寧夏銀川一中2020屆高三第五次月考試題全解全析理）選修45：不等式選講已知函數(shù)（I）求不等式的解集；（II）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！痉治觥浚?）只要分區(qū)去掉絕對值，即轉(zhuǎn)化為普通的一次不等式，最后把各個區(qū)間內(nèi)的解集合并即可；（2）問題等價于。【解析】（I）原不等式等價于或 3分解，得即不等式的解集為 6分（II） 8分 10分【考點】不等式選講【點評】本題考查帶有絕對值的不等式的解法、不等式的恒成立問題。本題的不等式的解法也可以根據(jù)幾何意義求解，不等式，等價于，其幾何意義是數(shù)軸上的點到點距離之和不大于，根據(jù)數(shù)軸可知這個不等式的解區(qū)間是。21. （甘肅省甘谷三中2020屆高三第三次檢測試題）(12分)已知函數(shù)滿足且對于任意, 恒有成立. (1) 求實數(shù)的值; (2) 解不等式.答案 （1） 由知, 又恒成立, 有恒成立,故 將式代入上式得:, 即故 即, 代入 得, （2） 即 解得:, 不等式的解集為22.（甘肅省甘谷三中2020屆高三第三次檢測試題） (12分)已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍答案 22.(1)3,2;(2)(1,4)23（黑龍江哈九中2020屆高三12月月考理）（12分）已知函數(shù)（1）求在上的最大值；（2）若對任意的實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程在上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍答案 （1），令，得或（舍）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，是函數(shù)在上的最大值（2）對恒成立若即，恒成立由得或設(shè)依題意知或在上恒成立都在上遞增或，即或（3）由知，令，則當(dāng)時，于是在上遞增；當(dāng)時，于是在上遞減，而，即在上恰有兩個不同實根等價于，解得24.（黑龍江省哈爾濱市第162中學(xué)2020屆高三第三次模擬理）設(shè)是函數(shù)的一個極值點。（）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）、設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍。 點評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當(dāng)a<4時，x2>3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)； 在區(qū)間（3，a1）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù)。當(dāng)a>4時，x2<3x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（a1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù)。（）由（）知，當(dāng)a>0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e3<0，f