【專題八】數(shù)形結(jié)合的思想【考情分析】縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。 巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。其思想思維與方法也是高考中重點(diǎn)考察的思維能力之一?！局R(shí)交匯】1、知識(shí)要點(diǎn)概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)中和兩個(gè)最古老的，也是最基本的對(duì)象，是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石，數(shù)學(xué)的所有問(wèn)題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過(guò)圖形的直觀性作出形象的描述.因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察，揭示其幾何意義，而形的問(wèn)題借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙機(jī)智地結(jié)合越來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決，簡(jiǎn)言之，就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來(lái)加以考察.這種處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法.數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法，因此，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位.在高考中，充分利用選擇題、填空題型的特點(diǎn)(這兩類題型只須寫出結(jié)果而無(wú)需寫出解答過(guò)程)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問(wèn)題來(lái)解決的意識(shí)，解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查則以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主.2、解題方法指導(dǎo)1.轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：通過(guò)坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解.轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來(lái)考慮.如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等.構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等.2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，揭示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性.“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，揭示出數(shù)與式的本質(zhì)特征.“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特性，觀察圖形的的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀及揭示隱含的數(shù)量關(guān)系.【思想方法】一、 利用數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題【例1】評(píng)注：對(duì)于集合中各種概念、運(yùn)算的理解，直接從自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言上理解，往往難以搞清其本質(zhì)；若借助簡(jiǎn)單的韋恩圖表示兩集合間的關(guān)系，可使問(wèn)題變得直觀、具體，易于認(rèn)清集合的特征，便于準(zhǔn)確、快速地解決問(wèn)題。這就是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，顯然準(zhǔn)確地將集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系是關(guān)鍵。解題時(shí)常借助韋恩圖或用數(shù)軸、簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像等形來(lái)集合問(wèn)題，往往可以把問(wèn)題中的條件直觀化、形象化，從而使原題靈活、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解。2. 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用【例2】已知函數(shù)（1） 試求b,c所滿足的關(guān)系式；（2） 若b=0，方程有唯一解，求a的取值范圍；（3） 若b=1，集合，試求集合A.【解析】xOy（1）由，得b、c所滿足的關(guān)系式為（2）由，可得方程，即，可化為，令，則由題意可得，在上有唯一解，令，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可知是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，可知是減函數(shù)故當(dāng)時(shí)，取極大值由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解故所求的取值范圍是或 （3）由，可得由且且且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)（），；當(dāng)時(shí)，且；當(dāng)時(shí)， 評(píng)注：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主要內(nèi)容，它的地位和作用非常重要，數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)尤為重要。函數(shù)的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一，它是從“形”的方面來(lái)刻畫函數(shù)的變化規(guī)律，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力，如利用某些函數(shù)表達(dá)式所具有的特征，與幾何中的距離、直線的斜率、線段的長(zhǎng)度（兩點(diǎn)間的距離）等聯(lián)系在一起，構(gòu)造幾何模型解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。3. 數(shù)形結(jié)合在線性規(guī)劃中的應(yīng)用【例3】學(xué)校有線網(wǎng)絡(luò)同時(shí)提供A、B兩套校本選修課程。A套選修課播40分鐘，課后研討20分鐘，可獲得學(xué)分5分；B套選修課播32分鐘，課后研討40分鐘，可獲學(xué)分4分。全學(xué)期20周，網(wǎng)絡(luò)每周開播兩次，每次均為獨(dú)立內(nèi)容。學(xué)校規(guī)定學(xué)生每學(xué)期收看選修課不超過(guò)1400分鐘，研討時(shí)間不得少于1000分鐘。兩套選修課怎樣合理選擇，才能獲得最好學(xué)分成績(jī)？【解析】設(shè)選擇A、B兩套課程分別為X、Y次，z為學(xué)分，則 .目標(biāo)函數(shù):.由方程組解得點(diǎn)A(15,25) , B(25,12.5)由于目標(biāo)函數(shù)的斜率與直線AB的斜率相等，因此在圖中陰影線段AB上的整數(shù)點(diǎn)A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合題意，使得學(xué)分最高為175分。4. 數(shù)形結(jié)合在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用【例4】例4 若函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+）內(nèi)為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析 這是一個(gè)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題首先把函數(shù)的增、減性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來(lái)研究求f（x）的導(dǎo)數(shù)，得f （x）= x2ax + a1于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)x2ax + a1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為負(fù)，在區(qū)間（6，+）內(nèi)為正的充要條件，而這個(gè)問(wèn)題則完全是二次函數(shù)的問(wèn)題，解決時(shí)必須借助圖形解 對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得 f （x）= x2ax + a1，由此得出方程x2ax + a1 = 0的兩個(gè)根為x = 1和x = a1，然后再借助圖形進(jìn)行研究顯然，函數(shù)f （x）= x2ax + a1是開口向上，與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的拋物線（1）當(dāng)a11時(shí)，函數(shù)f （x）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)a1在1的左側(cè)，在區(qū)間（1，4）內(nèi)f （x）0，如圖所示，那么f（x）在（1，4）內(nèi)為增函數(shù)，不合題意（2）當(dāng)1a14時(shí)，函數(shù)f （x）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a1在1與4之間，在區(qū)間（1，4）內(nèi)f （x）0不恒成立，如圖所示，那么f（x）在（1，4）內(nèi)不為減函數(shù)，不合題意a-1Oxy1234a-1Oxy164a-1Oxy164a-1Oxy164（3）當(dāng)4a16時(shí)，函數(shù)f （x）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a1在區(qū)間 4，6 上，在區(qū)間（1，4）內(nèi)f （x）0；在區(qū)間（6，+）內(nèi)f （x）0，如圖所示那么f（x）在（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在（6，+）內(nèi)為增函數(shù)此時(shí)5a7，滿足題意（4）當(dāng)a16時(shí)，函數(shù)f （x）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在6的右側(cè)，在區(qū)間（6，+）內(nèi)f （x）0不恒成立，如圖所示，那么f（x）在（6，+）內(nèi)為增函數(shù)不成立，不合題意綜上，知5a7為所求評(píng)注 對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的研究，實(shí)際上就是研究函數(shù)值正負(fù)的分布這種研究過(guò)程往往沒有現(xiàn)成的定理可以使用，而必須由圖象的直觀性得出結(jié)論在解答書寫的過(guò)程中，一般不必畫出函數(shù)圖象，但結(jié)論的得出又必須依賴于函數(shù)圖象，這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式5. 數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例5】已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求證：.證明:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cos,sin）與點(diǎn)B（cos,sin）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)如圖.從而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又單位圓的圓心到直線l的距離由平面幾何知識(shí)知OA2(AB)2=d2即.評(píng)注：善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題必須是等價(jià)的；其二，利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論。有些問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形后，再進(jìn)行討論求解。總之，要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個(gè)典型習(xí)題并把學(xué)生講懂了，就認(rèn)為學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是偏面的。教師要有做好長(zhǎng)期滲透的思想，平時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真上好每一堂課，學(xué)好新教材的系統(tǒng)知識(shí)，掌握各種函數(shù)的圖像特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì)。教師講題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的具體情況，多角度的觀察和理解問(wèn)題，揭示問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系，利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，從而來(lái)解決問(wèn)題。教學(xué)中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，通過(guò)多渠道來(lái)溝通知識(shí)間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并及時(shí)總結(jié)數(shù)形結(jié)合在解題中運(yùn)用的規(guī)律性，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提高理解和運(yùn)用的水平。只有這樣，不斷提高、深化數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的能力?！緦ｎ}演練】1曲線y=1+ (2x2)與直線y=r(x2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍 .2. 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).3.若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4求直線的表達(dá)式4. 如果，求的取值范圍.【參考答案】1. 解析：方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x2)+4為過(guò)（2，4）的直線.答案：（2. 解:作出函數(shù)的圖象,如右圖所示,函數(shù)為水平直線,由圖形可知:當(dāng)時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)或時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)時(shí), 解的個(gè)數(shù)為3;圖23. 解：結(jié)合圖2，由題意可得： 解得：故所求表達(dá)式是4. 解：由于表示以（4，3）為圓心，3為半徑的圓面，如圖3所示，由于到圓心（4，3）的距離為，當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上述圓面變動(dòng)時(shí)，故.