第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第一部分 三年高考薈萃2020年高考題一、選擇題1.（安徽理3） 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則 （A） (B) （）（）3【答案】A【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法.屬容易題.y0.51xO0.5【解析】.故選A.2.(安徽理10) 函數(shù)在區(qū) 間0,1上的圖像如圖所示，則m，n的值可能是（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究 函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大.【解析】代入驗證，當(dāng)，則，由可知，結(jié)合圖像可知函數(shù)應(yīng)在遞增，在遞減，即在取得最大值，由，知a存在.故選B.3.（安徽文5）若點(a,b)在 圖像上，,則下列點也在此圖像上的是（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D【命題意圖】本題考查對數(shù)函數(shù)的基本運算，考查對數(shù)函數(shù)的圖像與對應(yīng)點的關(guān)系.【解析】由題意，即也在函數(shù) 圖像上.4.0.51xyO0.5(安徽文10) 函數(shù)在 區(qū)間0,1上的圖像如圖所示，則n可能是（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大.【解析】代入驗證，當(dāng)時， ，則，由可知，結(jié)合圖像可知函數(shù)應(yīng)在遞增，在遞減，即在取得最大值，由，知a存在.故選A.5.（北京理6）根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為（A，c為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件 產(chǎn)品時用時15分鐘，那么c和A的值分別是A. 75，25B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16【答案】D【解析】由條件可知，時所用時間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時必然滿足第一個分段函數(shù)，即，選D。6.（北京文8）已知點,若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點的個數(shù)為 A. 4 B.3C. 2D. 1【答案】A7.（福建理5）等于 A1BCD【答案】C8.（福建理9）對于函數(shù) (其中，)，選取的一組值計算和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是 A4和6B3和1C2和4D1和2【答案】D9.（福建理10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ABC一定是鈍角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正確的判斷是ABCD【答案】B10.（福建文6）若關(guān)于x的方程x2mx10有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是A（1，1） B（2，2）C（，2）（2，） D（，1）（1，）【答案】C11.（福建文8）已知函數(shù)f(x)，若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于A3 B1 C1 D3【答案】A12.（福建文10）若a0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于A2 B3 C6 D9 【答案】D13.（廣東理4）設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 A+|g(x)|是偶函數(shù) B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù) D|- g(x)是奇函數(shù)【答案】A【解析】因為 g(x)是R上的奇函數(shù),所以|g(x)|是R上的偶函數(shù),從而+|g(x)|是偶函數(shù),故選A.14.（廣東文4）函數(shù)的定義域是 （ ） A B C D【答案】C15.（廣東文10）設(shè)是R上的任意實值函數(shù)如下定義兩個函數(shù)和；對任意,；則下列等式恒成立的是（ ）ABCD 【答案】B16.（湖北理6）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】由條件，即，由此解得，所以，所以選B.17.（湖北理10）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137的含量的變化率是（太貝克/年），則A. 5太貝克 B. 太貝克 C. 太貝克 D. 150太貝克【答案】D【解析】因為，則，解得，所以，那么（太貝克），所以選D.18.（湖南文7）曲線在點處的切線的斜率為（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以。19.（湖南文8）已知函數(shù)若有則的取值范圍為A B C D【答案】B【解析】由題可知，若有則，即，解得。20.（湖南理6）由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ）A B1 C D【答案】D【解析】由定積分知識可得，故選D。21.（湖南理8）設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當(dāng)達到最小時的值為（ ）A1 B C D【答案】D【解析】由題，不妨令，則，令解得，因時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，達到最小。即。22.（江西文3）若，則的定義域為( ) B. C. D.【答案】C 【解析】 23.（江西文4）曲線在點A（0,1）處的切線斜率為（ ）A.1 B.2 C. D.【答案】A 【解析】 24.（江西文6）觀察下列各式：則，則的末兩位數(shù)字為（ ）A.01 B.43 C.07 D.49【答案】B 【解析】 25.（江西理3）若，則定義域為A. B. C. D. 【答案】A【解析】由解得，故，選A26.（江西理4）設(shè)，則的解集為A. B. C. D.【答案】C【解析】定義域為，又由，解得或，所以的解集27.（江西理7）觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.8125【答案】D【解析】觀察可知當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時，末三位為125；又，即為第1004個指數(shù)為奇數(shù)的項，應(yīng)該與第二個指數(shù)為奇數(shù)的項（）末四位相同，的末四位數(shù)字為812528.（遼寧理9）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是A，2 B0，2 C1，+ D0，+【答案】D29.（遼寧理11）函數(shù)的定義域為，對任意，則的解集為A（，1） B（，+） C（，）D（，+）【答案】B30.（遼寧文6）若函數(shù)為奇函數(shù)，則a= A B C D1【答案】A31.（全國理2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是 （A） (B) （C） (D) 【答案】B32.（全國理9）由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為 （A） （B）4 （C） （D）6 【答案】C33. (全國理12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【答案】D34.（全國文4）曲線在點（1,0）處的切線方程為 （A） （B） （C） （D）【答案】A35. (全國文9)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4 (x0），則= （A） （B）（C） （D）【答案】B36.（全國理2）函數(shù)（0）的反函數(shù)為(A)（R） (B)（0） (C)（R） (D)（0）【答案】B【命題意圖】：本小題主要考查函數(shù)與反函數(shù)概念及求法特別要注意反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域?！窘馕觥坑?，得.函數(shù)（0）的反函數(shù)為.（0）37.（全國理8）曲線在點（0,2）處的切線與直線和圍成的三角形的面積為(A) (B) (C) (D)1【答案】A【命題意圖】：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過曲線上一點切線的方程的求法?！窘馕觥?，故曲線在點（0,2）處的切線方程為，易得切線與直線和圍成的三角形的面積為。38.（全國理9）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，則(A) (B) (C) (D)【答案】A【命題意圖】：本小題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的概念?！窘馕觥俊?9.（山東理9）函數(shù)的圖象大致是【答案】C【解析】因為,所以令,得,此時原函數(shù)是增函數(shù);令,得,此時原函數(shù)是減函數(shù),結(jié)合余弦函數(shù)圖象，可得選C正確.40.（山東理10）已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時,則函數(shù)的圖象在區(qū)間0,6上與軸的交點的個數(shù)為（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】A【解析】因為當(dāng)時, ,又因為是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且,所以,又因為,所以,故函數(shù)的圖象在區(qū)間0,6上與軸的交點的個數(shù)為6個,選A.41.（山東文4）曲線在點P(1，12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是 （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15【答案】C42.（陜西理3）設(shè)函數(shù)（R）滿足，則函數(shù)的圖像是 （ ）【答案】B【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì)【解析】選由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B43.（陜西文4） 函數(shù)的圖像是 （ ） 【答案】B【分析】已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點驗證的方法判斷【解析】 取，則，選項B，D符合；取，則，選項B符合題意44.（上海理16）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ）（A）. （B）. （C）. （D）.【答案】A45.（上海文15）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A46.（四川理7）若是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則的反函數(shù)的圖象大致是【答案】A【解析】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，值域為，此時，其反函數(shù)單調(diào)遞減且圖象在與之間，故選A47.（四川文4）函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖象像大致是【答案】A【解析】圖象過點，且單調(diào)遞減，故它關(guān)于直線y=x對稱的圖象過點且單調(diào)遞減，選A48.（天津理2）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）【答案】B【解析】解法1因為，所以函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是故選解法2可化為畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項，不正確，且，由此可排除，故選49.（天津理8）設(shè)函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）【答案】C【解析】若，則，即，所以，若則，即，所以，。所以實數(shù)的取值范圍是或，即故選C50.（天津文4）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）【答案】C【解析】因為，所以函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是故選51.（天津文6）設(shè)，則（） 【答案】D【解析】因為，所以，所以，故選52.（天津文10）設(shè)函數(shù)，則的值域是（）， 【答案】D【解析】解得，則或因此的解為：于是當(dāng)或時，當(dāng)時，則，又當(dāng)和時，所以由以上，可得或，因此的值域是故選53.（浙江理1）已知，則的值為 A6 B5 C4 D2【答案】B54.（浙江文10）設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是 【答案】D55.（重慶理5）下列區(qū)間中，函數(shù)=在其上為增函數(shù)的是 （A）（- （B） （C） （D）【答案】D56.（重慶理10）設(shè)m，k為整數(shù)，方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13【答案】D57. (重慶文3)曲線在點,處的切線方程為 A(A)(B)(C) (D)58. (重慶文6)設(shè),則,的大小關(guān)系是(A)(B)(C)(D)【答案】B59. (重慶文7)若函數(shù)在處取最小值,則 (A)(B)(C)3 (D)4【答案】C二、填空題60. (重慶文15)若實數(shù),滿足,，則的最大值是 .【答案】61.（浙江文11）設(shè)函數(shù) ,若,則實數(shù)=_【答案】-162.（天津文16）設(shè)函數(shù)對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】解法1顯然，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當(dāng)時，不恒成立，因此當(dāng)時，函數(shù)在 是減函數(shù)，因此當(dāng)時，取得最大值，于是恒成立等價于的最大值，即，解得于是實數(shù)的取值范圍是解法2然，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當(dāng)時，不成立，因此，因為，則，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時為增函數(shù)，于是時，取得最小值解得于是實數(shù)的取值范圍是解法3因為對任意，恒成立，所以對，不等式也成立，于是，即，解得于是實數(shù)的取值范圍是63.（天津理16）設(shè)函數(shù)對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】解法不等式化為，即，整理得，因為，所以，設(shè)，于是題目化為，對任意恒成立的問題為此需求，的最大值設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在處取得最大值，所以，整理得，即，所以，解得或，因此實數(shù)的取值范圍是解法2同解法1,題目化為，對任意恒成立的問題為此需求，的最大值設(shè)，則因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值從而有最大值所以，整理得，即，所以，解得或，因此實數(shù)的取值范圍是解法3不等式化為，即，整理得，令由于，則其判別式，因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點得到，所以為使對任意恒成立，必須使為最小值，即實數(shù)應(yīng)滿足解得，因此實數(shù)的取值范圍是解法4(針對填空題或選擇題)由題設(shè)，因為對任意，恒成立，則對，不等式也成立，把代入上式得，即，因為，上式兩邊同乘以，并整理得，即，所以，解得或，因此實數(shù)的取值范圍是 64.（四川理13）計算_【答案】20【解析】65.（四川理16）函數(shù)的定義域為A，若且時總有，則稱為單函數(shù)例如，函數(shù)=2x+1()是單函數(shù)下列命題：函數(shù)（xR）是單函數(shù)；若為單函數(shù)，且，則；若f：AB為單函數(shù)，則對于任意，它至多有一個原象；函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)其中的真命題是_（寫出所有真命題的編號）【答案】【解析】對于，若，則，不滿足；實際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；對于，若任意，若有兩個及以上的原象，也即當(dāng)時，不一定有，不滿足題設(shè)，故該命題為真；根據(jù)定義，命題不滿足條件66.（上海文3）若函數(shù)的反函數(shù)為，則 【答案】67.（上海文12）行列式所有可能的值中，最大的是 【答案】68.（上海文14）設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上的值域為 【答案】69.（上海理1）函數(shù)的反函數(shù)為 . 【答案】70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 . 【答案】71.（上海理13） 設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上的值域為 . 【答案】72.（陜西文11）設(shè)，則_.【答案】【分析】由算起，先判斷的范圍，是大于0，還是不大于0,；再判斷作為自變量的值時的范圍，最后即可計算出結(jié)果【解析】，所以，即73.（陜西理11）設(shè)，若，則 【分析】分段函數(shù)問題通常需要分布進行計算或判斷，從算起是解答本題的突破口.【解析】因為，所以，又因為，所以，所以，【答案】174.（陜西理12）設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是 【答案】3或4【分析】直接利用求根公式進行計算，然后用完全平方數(shù)、整除等進行判斷計算【解析】，因為是整數(shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因為，取，驗證可知符合題意；反之時，可推出一元二次方程有整數(shù)根75.（山東理16）已知函數(shù)=當(dāng)2a3b4時，函數(shù)的零點 .【答案】5【解析】方程=0的根為,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點橫坐標(biāo)為,且,結(jié)合圖象,因為當(dāng)時,此時對應(yīng)直線上的點的橫坐標(biāo);當(dāng)時, 對數(shù)函數(shù)的圖象上點的橫坐標(biāo),直線的圖象上點的橫坐標(biāo),故所求的.76.（遼寧文16）已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是_【答案】77.（江蘇2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_【答案】【解析】在在大于零,且增.本題主要考查函數(shù)的概念，基本性質(zhì)，指數(shù)與對數(shù)，對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，容易題78.（江蘇8）在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是_.【答案】4.【解析】設(shè)經(jīng)過原點的直線與函數(shù)的交點為，則.本題主要考查冪函數(shù)，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用,兩點間距離公式以及基本不等式，中檔題.79.（江蘇11）已知實數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為_【答案】【解析】 .，不符合； .本題主要考查函數(shù)概念，函數(shù)與方程,函數(shù)模型及其應(yīng)用,含參的分類討論，中檔題.80.（江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在P處的切線交y軸于點M，過點P作的垂線交y軸于點N，設(shè)線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是_【答案】【解析】設(shè)則，過點P作的垂線，所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減，.本題主要考查指數(shù)運算,指數(shù)函數(shù)圖象、導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)公式,導(dǎo)數(shù)的運算與幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、直線方程及其斜率、直線的位置關(guān)系，運算求解能力,綜合應(yīng)用有關(guān)知識的能力,本題屬難題. 81.（湖南文12）已知為奇函數(shù)， 【答案】6【解析】，又為奇函數(shù)，所以。82.（湖北文15）里氏震級M的計算公式為：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅是相應(yīng)的標(biāo)準地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標(biāo)準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大的振幅是5級地震最大振幅的_倍?！敬鸢浮?，1000083.（廣東文12）設(shè)函數(shù)若，則 【答案】-984.（廣東理12）函數(shù)在 處取得極小值. 【答案】85.（北京理13）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個不同的 實根，則實數(shù)k的取值范圍是_.【答案】【解析】單調(diào)遞減且值域為(0,1，單調(diào)遞增且值域為，有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（0,1）。86.（安徽文13）函數(shù)的定義域是 . 【答案】（3,2）【命題意圖】本題考查函數(shù)的定義域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由可得，即，所以.三、解答題87.（安徽理16）設(shè)，其中為正實數(shù)（）當(dāng)時，求的極值點；（）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，極值點的判斷，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對求導(dǎo)得 （I）當(dāng)，若綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點,是極大值點.（II）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號，結(jié)合與條件a>0，知在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知88.（北京理18）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，都有，求的取值范圍。解：(1)，令得當(dāng)時，在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在和上遞減，在上遞增(2) 當(dāng)時，；所以不可能對，都有；當(dāng)時有（1）知在上的最大值為，所以對，都有即，故對，都有時，的取值范圍為。89.（北京文18）已知函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）求在區(qū)間上的最小值。解：（I），令；所以在上遞減，在上遞增；（II）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以；當(dāng)即時，由（I）知，函數(shù)在區(qū)間上遞減，上遞增，所以；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以。90.（福建理18）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克() 求的值；() 若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解：()因為時，所以；()由()知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：；，令得函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時函數(shù)取得最大值答：當(dāng)銷售價格時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.91.（福建文22）已知a、b為常數(shù)，且a0，函數(shù)f(x)axbaxlnx，f(e)2，（e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）。（）求實數(shù)b的值；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)a1時，是否同時存在實數(shù)m和M（mM），使得對每一個tm，M，直線yt與曲線yf(x)（x，e）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由。解：（）b2；（）a0時單調(diào)遞增區(qū)間是（1，），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），a0時單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，）；（）存在m，M；m的最小值為1，M的最大值為2。92.（廣東理21）（2）設(shè)是定點，其中滿足.過作的兩條切線，切點分別為，與分別交于.線段上異于兩端點的點集記為.證明：；解：（），直線AB的方程為，即，方程的判別式，兩根或，又，得，（）由知點在拋物線L的下方，當(dāng)時，作圖可知，若，則，得；若，顯然有點； 當(dāng)時，點在第二象限，作圖可知，若，則，且；若，顯然有點； 根據(jù)曲線的對稱性可知，當(dāng)時，綜上所述，（*）；由（）知點M在直線EF上，方程的兩根或，同理點M在直線上，方程的兩根或，若，則不比、小，又，；又由（）知，；，綜合（*）式，得證（）聯(lián)立，得交點，可知，過點作拋物線L的切線，設(shè)切點為，則，得，解得，又，即，設(shè)，又，；，93.（廣東文19） 設(shè),討論函數(shù) 的單調(diào)性解：函數(shù)f(x)的定義域為（0，+）綜上所述，f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表：（其中）94.（湖北理17）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當(dāng)時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)（）當(dāng)時，求函數(shù)的表達式；（）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.解析：（）由題意：當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得故函數(shù)的表達式為=（）依題意并由（）可得當(dāng)時，為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立所以，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時95.（湖北理21）（）已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；（）設(shè)，均為正數(shù)，證明：（1）若，則；（2）若=1，則+。解：（）的定義域為，令，在上遞增，在上遞減，故函數(shù)在處取得最大值（）（1）由（）知當(dāng)時有即，即（2）先證，令，則由（1）知；再證+，記則于是由（1）得所以+。綜合，（2）得證96.（湖北文20）設(shè)函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點（2,0）處有相同的切線。(I) 求a、b的值，并寫出切線的方程；(II)若方程有三個互不相同的實根0、，其中，且對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。解：(I)，由于曲線曲線與在點（2,0）處有相同的切線，故有，由此解得：；切線的方程：(II)由(I)得，依題意得：方程有三個互不相等的根，故是方程的兩個相異實根，所以；又對任意的，恒成立，特別地，取時，成立，即，由韋達定理知：，故，對任意的，有，則：；又所以函數(shù)在上的最大值為0，于是當(dāng)時對任意的，恒成立；綜上：的取值范圍是。97.（湖南文22）設(shè)函數(shù)(I)討論的單調(diào)性；（II）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由解析：（I）的定義域為 令當(dāng)故上單調(diào)遞增當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因為，所以又由(I)知，于是若存在，使得則即亦即 再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得98.（湖南理20）如圖6，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿E移動方向的分速度為。E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動過程中的總淋雨量，當(dāng)移動距離d=100，面積S=時。（）寫出的表達式（）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少。解析：（I）由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為，故.（II）由(I)知，當(dāng)時，當(dāng)時，故。(1)當(dāng)時，是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時，。(2) 當(dāng)時，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時，。99.（湖南理22） 已知函數(shù)() =，g ()=+。 （）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由； （）設(shè)數(shù)列滿足，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的，都有 .解析：（I）由知，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點解法1：，記，則。當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點；當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點；從而在內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。解法2：，記，則。當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。因此在內(nèi)也至多只有一個零點，綜上所述，有且只有兩個零點。（II）記的正零點為，即。（1）當(dāng)時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，由知，因此，當(dāng)時，成立。故對任意的，成立。（2）當(dāng)時，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，由知，因此，當(dāng)時，成立。故對任意的，成立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的，都有.100.（江蘇17）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=xcm.（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.【解】（1）根據(jù)題意有（0<x<30）,所以x=15cm時包裝盒側(cè)面積S最大.（2）根據(jù)題意有，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)x=20時，V取極大值也是最大值.此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為.即x=20包裝盒容積V（cm）最大, 此時包裝盒的高與底面邊長的比值為解析：本題主要考查空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力、建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解能力、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，中檔題.101.（江蘇19）已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值.答案：因為函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，即即實數(shù)b的取值范圍是由若,則由,和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致,所以.;又.所以要使,只有,取,當(dāng)時, 因此當(dāng)時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（b,a）上單調(diào)性一致，所以，即，設(shè)，考慮點(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點設(shè)為則；當(dāng)時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即，當(dāng)時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即而x=0時，不符合題意， 當(dāng)時，由題意：綜上可知，。解析：本題主要考查單調(diào)性概念、導(dǎo)數(shù)運算及應(yīng)用、含參不等式恒成立問題，綜合考查、線性規(guī)劃、解二次不等式、二次函數(shù)、化歸及數(shù)形結(jié)合的思想，考查用分類討論思想進行探索分析和解決問題的綜合能力.(1)中檔題；（2）難題.102.（江西理19）設(shè).（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.【解析】（1）在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即存在某個子區(qū)間 使得.由，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需即可。由解得，所以，當(dāng)時，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間.（2）令，得兩根，.所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，有，所以在上的最大值為又，即所以在上的最小值為，得，從而在上的最大值為.103.（江西文18）如圖，在交AC于 點D,現(xiàn)將（1）當(dāng)棱錐的體積最大時，求PA的長；（2）若點P為AB的中點，E為解：（1）設(shè)，則 令 則單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表易知：當(dāng)時，有取最大值。證明：作得中點F，連接EF、FP，由已知得： 為等腰直角三角形，所以.104.（江西文20）設(shè). （1）如果在處取得最小值，求的解析式； （2）如果，的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求和 的值(注：區(qū)間的長度為）.解：（1）已知，又在處取極值，則，又在處取最小值-5.則，（2）要使單調(diào)遞減，則又遞減區(qū)間長度是正整數(shù)，所以兩根設(shè)做a，b。即有：b-a為區(qū)間長度。又又b-a為正整數(shù)，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。105.（遼寧理21）已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明：（x0）0解：（I） （i）若單調(diào)增加. （ii）若且當(dāng)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. （II）設(shè)函數(shù)則當(dāng).故當(dāng)， （III）由（I）可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個交點，故，從而的最大值為不妨設(shè)由（II）得從而由（I）知， 106.（遼寧文20）設(shè)函數(shù)=x+ax2+blnx，曲線y=過P（1,0），且在P點處的切斜線率為2（I）求a，b的值；（II）證明：2x-2解：（I） 由已知條件得，解得 （II），由（I）知設(shè)則而 107.（全國理21）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時，求的取值范圍。解：（），由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時，。而，故當(dāng)時，可得；當(dāng)x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。（iii）設(shè)k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，0108.（全國文21）設(shè)函數(shù)（）若a=，求的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng)0時0，求a的取值范圍（21）解：（）時，。當(dāng)時;當(dāng)時，;當(dāng)時，。故在，單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少。（）。令，則。若，則當(dāng)時，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x0時0，即0.若，則當(dāng)時，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時0，即0.綜合得的取值范圍為109.（全國理22）（）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)0時，0；（）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：.【命題立意】：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識。通過運用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.【解析】（），（僅當(dāng)時）故函數(shù)在單調(diào)遞增.當(dāng)時，故當(dāng)0時，0.（）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，連續(xù)抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為，要證（）19.先證： 即證即證而 所以. 即再證：，即證，即證，即證由（），當(dāng)0時，0.令則，即綜上有：110.（全國文20）已知函數(shù)()證明：曲線（）若,求的取值范圍?！窘馕觥?) ，又曲線的切線方程是：，在上式中令，得所以曲線（）由得，（i）當(dāng)時，沒有極小值；(ii)當(dāng)或時，由得故。由題設(shè)知，當(dāng)時，不等式無解；當(dāng)時，解不等式得綜合(i)(ii)得的取值范圍是。111.（山東理21）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設(shè)該容器的建造費用為千元.（）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的.【解析】（）因為容器的體積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側(cè)面積為=,兩端兩個半球的表面積之和為,所以+,定義域為(0,).（）因為+=,所以令得:; 令得:,所以米時, 該容器的建造費用最小.112.（陜西理21）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論【解】（1），（為常數(shù)），又，所以，即，；，令，即，解得，當(dāng)時，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)時，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是（2），設(shè)，則，當(dāng)時，即，當(dāng)時，因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，=0，；當(dāng)時，=0， （3）滿足條件的不存在證明如下：證法一 假設(shè)存在，使對任意成立，即對任意有 但對上述的，取時，有，這與左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對任意成立證法二 假設(shè)存在，使對任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時，的值域為，當(dāng)時，的值域為，從而可以取一個值，使，即,，這與假設(shè)矛盾不存在，使對任意成立113.（陜西文21）設(shè)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）求的取值范圍，使得對任意0成立【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）對任意0成立的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題【解】（1）由題設(shè)知，令0得=1，當(dāng)（0，1）時，0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。當(dāng)（1，+）時，0，是增函數(shù)，故（1，+）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值為(2)，設(shè)，則，當(dāng)時，即，當(dāng)時，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，即（3）由（1）知的最小值為1，所以，對任意，成立即從而得。114.（上海理20） 已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求時的的取值范圍解： 當(dāng)時，任意，則 ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則。115.（上海文21）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求時的的取值范圍.解： 當(dāng)時，任意，則 ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。 當(dāng)時，則；當(dāng)時，則。116.（四川理22）已知函數(shù)，（）設(shè)函數(shù)F(x)f(x)h(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)，解關(guān)于x的方程；（）試比較與的大小本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基本知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：（）由（）知，令，得當(dāng)時，；當(dāng)時，故當(dāng)時，是減函數(shù)；時，是增函數(shù)函數(shù)在處有得極小值（）方法一：原方程可化為，即為，且當(dāng)時，則，即，此時，此時方程僅有一解當(dāng)時，由，得，若，則，方程有兩解；若時，則，方程有一解；若或，原方程無解方法二：原方程可化為，即，當(dāng)時，原方程有一解；當(dāng)時，原方程有二解；當(dāng)時，原方程有一解；當(dāng)或時，原方程無解（）由已知得設(shè)數(shù)列的前n項和為，且（）從而，當(dāng)時，又即對任意時，有，又因為，所以故117.（四川文22）已知函數(shù)，（）設(shè)函數(shù)F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)，解關(guān)于x的方程；（）設(shè)，證明：本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：（），令，得（舍去）當(dāng)時；當(dāng)時，故當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)為的極大值點，且（）方法一：原方程可化為，即為，且當(dāng)時，則，即，此時，此時方程僅有一解當(dāng)時，由，得，若，則，方程有兩解；若時，則，方程有一解；若或，原方程無解方法二：原方程可化為，即，當(dāng)時，原方程有一解；當(dāng)時，原方程有二解；當(dāng)時，原方程有一解；當(dāng)或時，原方程無解（）由已知得，設(shè)數(shù)列的前n項和為，且（）從而有，當(dāng)時，又即對任意時，有，又因為，所以則，故原不等式成立118.（天津理21）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱證明當(dāng)時，（）如果，且，證明【解】（）令，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：增極大值減所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值且（）因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，于是記，則，當(dāng)時，從而，又，所以，于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)因為，所以，當(dāng)時，因此（）(1) 若，由（）及,得,與矛盾；(2) 若，由由（）及,得,與矛盾；根據(jù)(1)，(2)可得不妨設(shè)由（）可知，所以因為，所以，又，由（），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以，即119.（天津文20）已知函數(shù)，其中（）若，求曲線在點處的切線方程；（）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍【解】（）當(dāng)時，所以曲線在點處的切線方程為，即（）令，解得或針對區(qū)間，需分兩種情況討論：(1) 若,則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：增極大值減所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點得到因此在區(qū)間上，恒成立，等價于即解得，又因為，所以(2) 若，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：增極大值減極小值增所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點或處得到因此在區(qū)間上，恒成立，等價于即解得或，又因為，所以綜合(1),(2), 的取值范圍為.120.（浙江理22）已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間和極值