高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 蘇教版選修2-2一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分請把正確的答案填在題中橫線上)1下面幾種推理是合情推理的序號的是_由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分；三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n2)·180°.【解析】是類比推理；是歸納推理；不屬于合情推理；是歸納推理【答案】2若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：aR，結(jié)論是：a20，那么這個演繹推理錯在_(填“大前提”，“小前提”或“推理過程”)【解析】a0時，a20，因此大前提錯誤【答案】大前提3用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由nk的假設(shè)到證明nk1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是_【解析】由等式的特征，左邊應(yīng)添加(k1)2k2.【答案】(k1)2k24下列四個圖形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為_圖1【解析】由圖形可知，著色三角形的個數(shù)依次為：1，3，9，27，故an3n1.【答案】3n15已知a0，b0，mlg ，nlg ，則m與n的大小關(guān)系為_【解析】()2ab2ab0，0，則.lg lg ，則mn.【答案】mn6已知圓x2y2r2(r0)的面積為Sr2，由此類比橢圓1(ab0)的面積最有可能是_【解析】將圓看作橢圓的極端情況，即ab情形類比S圓r2，得橢圓面積Sab.【答案】ab7已知結(jié)論“若a1，a2正實數(shù)，且a1a21，則4”，請猜想若a1，a2，an正實數(shù)，且a1a2an1，則_【解析】左邊是2項，右邊為22，猜想：左邊是n項，右邊為n2.【答案】n2圖28現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖2，在一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個正方形的某個頂點(diǎn)在另一個正方形的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個正方體的某個頂點(diǎn)在另一個正方體的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為_【解析】正方形類比到正方體，重疊面積類比到重疊體積，則S，類比得V()3.【答案】9將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n3)行的從左到右的第三個數(shù)是_【解析】前n1行共有正整數(shù)123(n1)個，第n行第3個數(shù)是3.【答案】10(xx·南京高二檢測)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比q1，若a1b1，a2 013b2 013，則a1 007與b1 007的大小關(guān)系是_【解析】由2a1 007a1a2 013，得a1 007.又bb1·b2 013，得b1 007，a1b10，a2 013b2 0130，且a1a2 013，a1 007b1 007.【答案】a1 007b1 00711一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除，其“三段論”的形式為：大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除小前提：_結(jié)論：所以21001不能被2整除【答案】21001是奇數(shù)12求證：2的證明如下：因為和2都是正數(shù)，所以為了證明2，只需證明()2(2)2，展開得6212，即3，只需證明59.因為59成立所以不等式2成立上述證明過程應(yīng)用的方法是_【答案】分析法13用反證法證明命題“a，bN*，ab可被5整除， 那么a，b至少有1個能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是_【解析】“a、b中至少有一個能被5整除”的否定為“a，b都不能被5整除”【答案】a，b都不能被5整除14(xx·徐州高二檢測)在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖3所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是_圖3【解析】CE平分角ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可類比成，故結(jié)論為.【答案】二、解答題(本大題共6小題，共90分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)觀察：(1)sin210°cos240°sin 10°cos 40°；(2)sin26°cos236°sin 6°cos 36°.由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想【解】觀察40°10°30°，36°6°30°，由此猜想：sin2cos2(30°)sin ·cos(30°).證明：sin2cos2(30°)sin ·cos(30°)sin (cos sin )1(cos 2sin 2)sin 2sin21cos 2sin 2sin 2×.16(本小題滿分14分)已知0<a<1，求證：9.【證明】0<a<1，1a>0.欲證9成立，只需證明1a4a9a(1a)整理移項9a26a10.即證明(3a1)20.a(0，1)，(3a1)20顯然成立故9成立17(本小題滿分14分)(xx·無錫高二檢測)已知函數(shù)f(x)log2(x2)，a，b，c，是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論【解】f(a)f(c)2f(b)，證明如下：a，b，c是不相等的正數(shù)，ac2，b2ac，ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，從而(a2)(c2)(b2)2，f(x)log2x是增函數(shù)，log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)18(本小題滿分16分)如圖4甲，在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，則AB2BD·BC；若類比該命題，如圖乙，三棱錐ABCD中，AD面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題？圖4【解】命題是：三棱錐ABCD中，AD面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有SSBCM·SBCD，是一個真命題證明如下：在圖乙中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DEBC，AEBC.因為AD面ABC，所以ADAE.因為AMDE，所以AE2EM·ED.于是S(BC·AE)2(BC·EM)·(BC·ED)SBCM·SBCD.19(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)當(dāng)a1，b2時，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個極值點(diǎn)，x3是f(x)的一個零點(diǎn)，且x3x1，x3x2.證明：存在實數(shù)x4，使得x1，x2，x3，x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求x4.【解】(1)當(dāng)a1，b2時，f(x)(x1)2(x2)f(x)(x1)(3x5)，則f(2)1.又f(2)(21)2(22)0.f(x)在點(diǎn)(2，0)處的切線方程為yx2.(2)因為f(x)3(xa)(x)，由于ab，故a，所以f(x)的兩個極值點(diǎn)為xa，x.不妨設(shè)x1a，x2，因為x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零點(diǎn)故x3b.又因為a2(b)，故可令x4(a)，此時，a，b依次成等差數(shù)列，所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4.20(本小題滿分16分)已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當(dāng)n1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明【解】(1)當(dāng)n1時，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：當(dāng)n1，2，3時，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k3)時不等式成立，即1，那么，當(dāng)nk1時，f(k1)f(k)，因為0，因此，f(k1)，當(dāng)nk1時成立由可知，對一切nN*，都有f(n)g(n)成立