15.1曲邊梯形的面積 15.2汽車行駛的路程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.2.會求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程知識點(diǎn)一曲邊梯形的面積思考1如何計(jì)算下列兩圖形的面積？ 答案直接利用梯形面積公式求解轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解思考2如圖所示的圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別？答案已知圖形是由直線x1，y0和曲線yx2所圍成的，可稱為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段梳理曲邊梯形的概念及面積求法(1)曲邊梯形：由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖所示)(2)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖所示) (3)求曲邊梯形面積的步驟：分割；近似代替；求和；取極限知識點(diǎn)二求變速直線運(yùn)動的(位移)路程一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.1求汽車行駛的路程時，分割的區(qū)間表示汽車行駛的路程(×)2當(dāng)n很大時，函數(shù)f(x)x2在區(qū)間上的值，只能用2近似代替(×)3利用求和符號計(jì)算(i1)40.()類型一求曲邊梯形的面積例1求由直線x0，x2，y0與曲線yx21所圍成的曲邊梯形的面積考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲線梯形的面積問題解令f(x)x21.(1)分割將區(qū)間0,2n等分，分點(diǎn)依次為x00，x1，x2，xn1，xn2.第i個區(qū)間為(i1,2，n)，每個區(qū)間長度為x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Sn ·x·22(1222n2)2·22.(3)取極限SSn ，即所求曲邊梯形的面積為.反思與感悟求曲邊梯形的面積(1)思想：以直代曲(2)步驟：分割近似代替求和取極限(3)關(guān)鍵：近似代替(4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確(5)求和時可用一些常見的求和公式，如123n，122232n2，132333n32.跟蹤訓(xùn)練1求由直線x0，x1，y0和曲線yx2所圍成的圖形的面積考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題解(1)分割將區(qū)間0,1等分為n個小區(qū)間：，其中i1,2，n，每個小區(qū)間的長度為x.過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作S1，S2，Sn.(2)近似代替在區(qū)間(i1,2，n)上，以處的函數(shù)值2為高，小區(qū)間的長度x為底邊的小矩形的面積作為第i個小曲邊梯形的面積，即Si2·.(3)求和Si2·0·2·2·2·1222(n1)2.(4)取極限曲邊梯形的面積S .類型二求變速運(yùn)動的路程例2當(dāng)汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程svt.如果汽車做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t)t22(單位：km/h)，那么它在1t2(單位：h)這段時間行駛的路程是多少？考點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題題點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題解將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為.所以siv·.snv 3.s sn .所以這段時間行駛的路程為 km.引申探究本例中求小曲邊梯形面積時若用另一端點(diǎn)值作為高，試求出行駛路程，比較兩次求出的結(jié)果是否一樣？解將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為.所以siv·.snv31222(n1)2n22462(n1)2n3.s sn .所以這段時間行駛的路程為 km.所以分別用小區(qū)間的兩個端點(diǎn)求出的行駛路程是相同的反思與感悟求變速直線運(yùn)動路程的問題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解過程為：分割、近似代替、求和、取極限應(yīng)特別注意變速直線運(yùn)動的時間區(qū)間跟蹤訓(xùn)練2一輛汽車在直線形公路上做變速行駛，汽車在時刻t的速度為v(t)t25(單位：km/h)，試計(jì)算這輛汽車在0t2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)考點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題題點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題解(1)分割：在區(qū)間0,2上等間隔插入n1個點(diǎn)，將區(qū)間分成n個小區(qū)間，記第i個小區(qū)間為(i1,2，n)，t.則汽車在時間段，上行駛的路程分別記為：s1，s2，si，sn，有snsi.(2)近似代替：取i(i1,2，n)，siv·t··(i1,2，n)(3)求和：snsi8·10.(4)取極限：ssn .1把區(qū)間1,3 n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為()A. B. C. D.考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案B解析區(qū)間1,3的長度為2，故n等分后，每個小區(qū)間的長度均為.2在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間xi，xi1上的近似值等于()A只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)B只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi1)C可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正確考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案C3一物體沿直線運(yùn)動，其速度v(t)t，這個物體在t0到t1這段時間內(nèi)所走的路程為()A. B. C1 D.考點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題題點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題答案B4._.考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求和符號的表示答案解析(12n)·.5求由曲線yx2與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點(diǎn))是_考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案1.02解析將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為，于是所求平面圖形的面積近似等于×1.02.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟(1)分割：n等分區(qū)間a，b；(2)近似代替：取點(diǎn)ixi1，xi；(3)求和：(i)·；(4)取極限：s (i)·.“近似代替”也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn))一、選擇題1和式(xi1)可表示為()A(x11)(x51)Bx1x2x3x4x51Cx1x2x3x4x55D(x11)(x21)(x51)考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求和符號的表示答案C解析(xi1)(x11)(x21)(x31)(x41)(x51)x1x2x3x4x55.2在求由xa，xb(a<b)，yf(x) (f(x)0)及y0圍成的曲邊梯形的面積S時，在區(qū)間a，b上等間隔地插入(n1)個分點(diǎn)，分別過這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，下列說法中正確的個數(shù)是()n個小曲邊梯形的面積和等于S；n個小曲邊梯形的面積和小于S；n個小曲邊梯形的面積和大于S；n個小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定A1 B2C3 D4考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案A解析n個小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.正確，錯誤3在求由直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊三角形的面積時，把區(qū)間0,2等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間是()A. B.C. D.考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案C解析將區(qū)間0,2等分為n個小區(qū)間后，每個小區(qū)間的長度為，第i個小區(qū)間為.4在求由曲線y與直線x1，x3，y0所圍成圖形的面積時，若將區(qū)間n等分，并用每個區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值近似代替每個小曲邊梯形的高，則第i個小曲邊梯形的面積Si約等于()A. B.C. D.考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案A解析每個小區(qū)間的長度為，第i個小曲邊梯形的高為，第i個小曲邊梯形的面積為×.5在等分區(qū)間的情況下f(x)(x0,2)及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是()A. B. C. D. 考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案B解析x，和式為 .故選B.6對于由直線x1，y0和曲線yx3所圍成的曲邊三角形，把區(qū)間3等分，則曲邊三角形面積的近似值(取每個區(qū)間的左端點(diǎn))是()A. B.C. D.考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案D解析將區(qū)間0,1三等分為，各小矩形的面積和為S03×3×3×.7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<<xnb，把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x(其中x為小區(qū)間的長度)，那么Sn的大小()A與f(x)和區(qū)間a，b有關(guān)，與分點(diǎn)的個數(shù)n和i的取法無關(guān)B與f(x)和區(qū)間a，b的分點(diǎn)的個數(shù)n有關(guān)，與i的取法無關(guān)C與f(x)和區(qū)間a，b的分點(diǎn)的個數(shù)n，i的取法都有關(guān)D與f(x)和區(qū)間a，b的i的取法有關(guān)，與分點(diǎn)的個數(shù)n無關(guān)考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案C解析用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<<xnb把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式Sn(i)·x.若對和式求極限，則可以得到函數(shù)yf(x)的圖象與直線xa，xb，y0圍成的區(qū)域的面積，在求極限之前，和式的大小與函數(shù)式、分點(diǎn)的個數(shù)和變量的取法都有關(guān)8. 的含義可以是()A求由直線x1，x5，y0，y3x圍成的圖形的面積B求由直線x0，x1，y0，y15x圍成的圖形的面積C求由直線x0，x5，y0，y3x圍成的圖形的面積D求由直線x0，x5，y0及曲線y圍成的圖形的面積考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案C解析將區(qū)間0,5n等分，則每一區(qū)間的長度為，各區(qū)間右端點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值為y，因此可以表示由直線x0，x5，y0和y3x圍成的圖形的面積的近似值9若直線y2x1與直線x0，xm，y0圍成圖形的面積為6，則正數(shù)m等于()A1 B3C2 D4考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)由曲邊梯形的面積求參數(shù)答案C解析將區(qū)間0，mn等分，每個區(qū)間長為，區(qū)間左端點(diǎn)函數(shù)值y2·1，作和Sn·m·(123n)m·m，S 6，m2.故選C.二、填空題10在區(qū)間0,8上插入9個等分點(diǎn)后，則所分的小區(qū)間長度為_，第5個小區(qū)間是_考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案解析在區(qū)間0,8上插入9個等分點(diǎn)后，把區(qū)間0,810等分，每個小區(qū)間的長度為，第5個小區(qū)間為.11已知某物體運(yùn)動的速度vt，t0,10，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動的路程近似值為_考點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題題點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題答案55解析把區(qū)間0,1010等分后，每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n1,2，10)，每個小區(qū)間的長度為1.物體運(yùn)動的路程近似值s1×(1210)55.12當(dāng)n很大時，下列可以代替函數(shù)f(x)x2在區(qū)間上的值有_個f ；f ；f ；f .考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案3解析因?yàn)楫?dāng)n很大時，區(qū)間上的任意的取值都可以代替，又因?yàn)?，故能代替的?三、解答題13求由直線x0，x1，y0和曲線yx22x圍成的圖形的面積考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題解將區(qū)間0,1n等分，每個區(qū)間長度為，區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值y22·.作和Sn2·n(n1)(2n1)·，所求面積S .四、探究與拓展14設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線xa，xb及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在a，b上的面積已知函數(shù)ysin nx在(nN*)上的面積為，則ysin 3x在上的面積為_考點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題題點(diǎn)求曲邊梯形的面積問題答案解析由于ysin nx在(nN*)上的面積為，則ysin 3x在上的面積為.而ysin 3x的周期為，所以ysin 3x在上的面積為×2.15有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)3t22(單位：km/h)，那么該汽車在0t2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？考點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題題點(diǎn)變速運(yùn)動的路程問題解(1)分割在時間區(qū)間0,2上等間隔地插入n1個分點(diǎn)，將它分成n個小區(qū)間，記第i個小區(qū)間為(i1,2，n)，其長度為t.每個時間段上行駛的路程記為si(i1,2，n)，則顯然有ssi.(2)近似代替取i(i1,2，n)，用小矩形的面積si近似地代替si，于是sisiv·t·(i1,2，n)(3)求和snsi(1222n2)4·484.(4)取極限s sn 8412.所以這段時間內(nèi)行駛的路程為12 km.14