第75課 變量的相關(guān)性與統(tǒng)計案例1. 兩個變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān):在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).(2)負相關(guān):在散點圖中,點散布在從左上角到右下角的區(qū)域, 對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為負相關(guān)(3)相關(guān)系數(shù)r，當r0時，兩變量正相關(guān)，當r0時，兩變量負相關(guān)，當|r|1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高，當|r|1且|r|越接近于0，相關(guān)程度越低(4)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線2.回歸方程(1)最小二乘法:求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回歸方程:方程是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變的一組數(shù)據(jù) , , , )的回歸方程,其中是待定參數(shù),3兩個分類變量的獨立性檢驗的一般步驟：（1）列出兩個分類變量的列聯(lián)表：（2）假設(shè)兩個分類變量無關(guān)系；（3）計算(其中為樣本容量)；（4）把的值與臨界值比較，確定有關(guān)的程度或無關(guān)系【例1】對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖 由這兩個散點圖可以判斷（）A變量與正相關(guān)，與正相關(guān) B變量與正相關(guān)，與負相關(guān)C變量與負相關(guān)，與正相關(guān) D變量與負相關(guān)，與負相關(guān)【變式】為了解某商品銷售量（件）與銷售價格（元/件）的關(guān)系，統(tǒng)計了的10組值，并畫成散點圖如圖，則其回歸方程可能是（ ）A BC D 【例2】(2020新課標II卷)某地區(qū)2020年至2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2020202020202020202020202020年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求關(guān)于的線性回歸方程；（）利用（）中的回歸方程，分析2020年至2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：【解析】()由所給數(shù)據(jù)計算得：， 所求回歸方程為. （）由()由知，故年至年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐 年增加，平均每年增加千元. 將年的年份代號代入()中的回歸方程，得，故預(yù)測該地區(qū)年農(nóng)村居民家庭人均純收入為千元.【變式】 (2020江門一模）某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程中，則據(jù)此模型預(yù)測，廣告費用為萬元時，銷售額約為 【答案】萬元【解析】，廣告費用為萬元時，銷售額約為（萬元）【例3】今年春節(jié)黃金周，記者通過隨機詢問某景區(qū)110名游客對景區(qū)的服務(wù)是否滿意，得到如下的列聯(lián)表：性別與對景區(qū)的服務(wù)是否滿意（單位：名）（1）從這50名女游客中按對景區(qū)的服務(wù)是否滿意采取分層抽樣，抽取一個容量為5的樣本，問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名？（2）從（1）中的5名女游客樣本中隨機選取兩名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率；（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認為“游客性別與對景區(qū)的服務(wù)滿意”有關(guān)【解析】（1）由題意，樣本中滿意的女游客為名，不滿意的女游客為名（2）記樣本中對景區(qū)的服務(wù)滿意的3名女游客分別為，對景區(qū)的服務(wù)不滿意的2名女游客分別為從5名女游客中隨機選取兩名，共有10個基本事件，分別為，其中事件：選到滿意與不滿意的女游客各一名包含了6個基本事件，分別為，所求概率 （3）假設(shè)：該景區(qū)游客性別與對景區(qū)的服務(wù)滿意無關(guān)，則應(yīng)該很小根據(jù)題目中列聯(lián)表得：由可知：有99的把握認為該景區(qū)游客性別與對景區(qū)的服務(wù)滿意有關(guān) 【變式】以下四個命題: 在一次試卷分析中，從每個試室中抽取第5號考生的成績進行統(tǒng)計，是簡單隨機抽樣；樣本數(shù)據(jù)：，的方差為；對于相關(guān)系數(shù)，越接近，則線性相關(guān)程度越強；通過隨機詢問名性別不同的行人，對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進行抽樣調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：由可得， 附表則有在犯錯誤率不超過的條件下認為“選擇過馬路方式與性別有關(guān)”其中正確的命題序號是 第75課 變量的相關(guān)性與統(tǒng)計案例的后作業(yè)1在回歸分析中，殘差圖中縱坐標為（ ） A殘差 B樣本編號 C D【答案】A2(2020韶關(guān)一模）已知回歸直線的斜率的估計值為，樣本點的中心為，則回歸直線方程為（ ）A B  C  D【答案】C【解析】依題意可得， ， 3已知與之間的一組數(shù)據(jù)：則與的線性回歸方程必過點 ()A B C D【答案】D【解析】，.4.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是 ()A B C D【答案】A【解析】易知題中圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，圖(2)與圖(4)是負相關(guān)，且圖(1)與圖(2)中的樣本點集中分布在一條直線附近，則.5. (2020·江西高考)某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關(guān)系，隨機抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是( )A成績 B視力 C智商 D閱讀量 【答案】D【解析】因為K，K，K，K，則有K>K>K>K，所以閱讀量與性別關(guān)聯(lián)的可能性最大6.某班主任對全班30名男生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：該班主任據(jù)此推斷男生認為作業(yè)多與喜歡玩電腦游戲有關(guān)系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過_【答案】【解析】計算得 的觀測值為，則推斷犯錯誤的概率不超過 .7.某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為_ cm.【答案】【解析】兒子和父親的身高可列表如下：父親身高173170176兒子身高170176182設(shè)線性回歸方程為，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得，且過中心點，故，故線性回歸方程為，將代入得孫子的身高為cm.8.從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位:千元)與月儲蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料，算得，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負相關(guān)，并說明這10個家庭月儲蓄對于月收入的變化情況；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄附:線性回歸方程中， 其中，為樣本平均值9. 某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，為了研究高中學(xué)生的作文水平是否與愛看課外書有關(guān)系，在本校高三年級隨機調(diào)查了50名學(xué)生調(diào)查結(jié)果表明：在愛看課外書的25人中有18人作文水平好，另外7人作文水平一般；在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并運用獨立性檢驗思想，指出有多大把握認為高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系；愛看課外書不愛看課外書總計作文水平好作文水平一般總計(2)將其中某5名愛看課外書且作文水平好的學(xué)生分別編號為1,2,3,4,5，某5名愛看課外書且作文水平一般的學(xué)生也分別編號為1,2,3,4,5，從這兩組學(xué)生中各任選1人進行學(xué)習(xí)交流，求被選取的2名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)： 0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下：愛看課外書不愛看課外書總計作文水平好18624作文水平一般71926總計252550因為 由表知 ，所以有 的把握認為高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系(2)設(shè)“被選取的2名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)”為事件，“被選取的2名學(xué)生的編號之和為4的倍數(shù)”為事件.則基本事件為123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)共25個，因為事件所包含的基本事件為(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9個，所以 ；事件所包含的基本事件為(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6個，所以.因為事件、互斥，所以 ，即被選取的2名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率為.轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型30045060010.一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4 ,8.6 ,9.2 ,9.6 ,8.7 ,9.3 ,9.0 ,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率【解析】(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以，則 .(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得，則.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個故P(E)，即所求概率為.(3)樣本平均數(shù)(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6個，所以P(D)，即所求概率為.