第23練?？嫉倪f推公式問(wèn)題的破解方略題型分析高考展望利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中常考題型，掌握常見(jiàn)的一些變形技巧是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：一般這類題目難度較大，但只要將已知條件，轉(zhuǎn)化為幾類“模型”，然后采用相應(yīng)的計(jì)算方法即可解決.常考題型精析題型一利用累加法解決遞推問(wèn)題例1(1)(2015江蘇)設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_.(2)數(shù)列an中，已知a12，an1ancn (nN*，常數(shù)c0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列.求c的值；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.點(diǎn)評(píng)由已知遞推關(guān)系式若能轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，或f(n)且f(n)的和可求，則可采用累加法.變式訓(xùn)練1已知數(shù)列an中，a13，a25，其前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn22Sn12n-1 (n3)，試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.題型二利用累乘法解決遞推問(wèn)題例2(1)已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，(n2)a(n1)aanan10，則它的通項(xiàng)公式為()A.an B.anC.an D.ann(2)已知數(shù)列an滿足：a11,2n1anan1(nN且n2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_.點(diǎn)評(píng)若由已知遞推關(guān)系能轉(zhuǎn)化成f(n)的形式，且f(n)的前n項(xiàng)積能求，則可采用累乘法.注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練2數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan (n2)，且a11，a22，則an的通項(xiàng)公式an_.題型三構(gòu)造法求通項(xiàng)公式例3(1)已知a11，an12an1，求an；(2)已知a11，an1，求an.點(diǎn)評(píng)構(gòu)造法就是利用數(shù)列的遞推關(guān)系靈活變形，構(gòu)造出等差、等比的新數(shù)列，然后利用公式求出通項(xiàng).此類問(wèn)題關(guān)鍵在于條件變形：在“ancan1b”的條件下，可構(gòu)造“anxc(an1x)”在“an”的條件下，可構(gòu)造“”.變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an中，a12，當(dāng)n2時(shí)，an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.高考題型精練1.在數(shù)列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，則的值是()A. B. C. D.2.學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%改選A種菜.用an，bn分別表示在第n個(gè)星期的星期一選A種菜和選B種菜的人數(shù)，如果a1300，則a10為()A.350 B.300 C.400 D.4503.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn等于()A.2n1 B.n1C.n1 D.4.已知f(x)log21，anf()f()f()，n為正整數(shù)，則a2 016等于()A.2 015 B.2 009 C.1 005 D.1 0065.已知數(shù)列an滿足a11，anan-12n (n2)，則a7等于()A.53 B.54 C.55 D.1096.數(shù)列an滿足a11，且對(duì)于任意的nN*都有an1ana1n，則等于()A. B. C. D.7.(2014課標(biāo)全國(guó))數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.8.設(shè)函數(shù)f(x)a1a2xa3x2anxn1，f(0)，數(shù)列an滿足f(1)n2an(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_.9.若f(n)為n21(nN*)的各位數(shù)字之和，如62137，f(6)3710，f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，則f2 016(4)_.10.數(shù)列an滿足a1a2a3an2n5，則an_.11.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列an，定義Hn為an的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_.12.(2015陜西)設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an)，且0ann.答案精析第23練?？嫉倪f推公式問(wèn)題的破解方略?？碱}型精析例1(1)解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，將以上n1個(gè)式子相加得ana123n，即an，令bn，故bn2，故S10b1b2b102.(2)解由題意知a12，a22c，a323c，因?yàn)閍1，a2，a3成等比數(shù)列，所以(2c)22(23c).解得c0或c2，又c0，故c2.當(dāng)n2時(shí)，由an1ancn，得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得ana112(n1)cc.又a12，c2，故ann2n2 (n2)，當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n2 (nN*).變式訓(xùn)練1解由SnSn22Sn12n1得：SnSn1Sn1Sn22n1，anan12n1 (n3).a2a1532，a3a2224，a4a38，anan12n1，以上各式相加得：ana1242n1，ana12n232n22n1，an2n1 (n1).例2(1)B(2)an2解析(1)由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an>0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以ana1a1(n2)，所以an(n1適合)，于是所求通項(xiàng)公式為an.(2)n2時(shí)，22，21n，以上各式相乘得21222n12，an2 (n2).又a11滿足an2.an2 (n1).變式訓(xùn)練2an解析Sn1an1 (n3).SnSn1anan1，ananan1，n3時(shí)，2，n1，an(n1)a22(n1) (n3).a22滿足an2(n1)，an例3解(1)由an12an1得an112(an1)，又a1120，于是可知an1為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.即an12n，an2n1，所求通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an1得1(常數(shù))，又1，為以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，n，從而an，即所求通項(xiàng)公式為an.變式訓(xùn)練3解因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，an1，兩邊取倒數(shù)，得.即，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.所以(n1).所以an.又當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an (nN*).高考題型精練1.C 由已知得a21(1)22，a3a2a2(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.2.B 依題意，得消去bn，得an1an150.由a1300，得a2300；由a2300，得a3300；從而得a10300，故選B.3.B 當(dāng)n2時(shí)，SnSn12an12an，3an2an1，.Sn1n1.4.A 因?yàn)閒(x)log21，所以f(x)f(1x)log21log212.所以f()f()2，f()f()2，f()f()2，由倒序相加，得2an2(n1)，ann1，所以a2 0162 01612 015，故選A.5.C anan12n (n2).a2a14，a3a26，a4a38，a7a614，以上各式兩邊分別相加得a7a14614，a7155.6.B an1ana1n，a11，an1an1n，ana1(a2a1)(anan1)12n，2.2(1).7.解析an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.8.an解析由f(0)，得a1，由f(1)n2an(nN*)，得Sna1a2ann2an.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2an(n1)2an1，整理得，所以ana1，顯然a1也符合.即an的通項(xiàng)公式為an.9.5解析因?yàn)?2117，f(4)178，則f1(4)f(4)8，f2(4)f(f1(4)f(8)11，f3(4)f(f2(4)f(11)5，f4(4)f(f3(4)f(5)8，所以fk1(n)f(fk(n)為周期數(shù)列.可得f2 016(4)5.10.an解析a1a2an2n5.a1a2an12(n1)5.由得an2，an2n1 (n2).又a125，a114.an11.an解析由Hn可得a12a23a3nan，a12a23a3(n1)an1，得nan，所以an.12.(1)解方法一由題設(shè)fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n2)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.方法二當(dāng)x1時(shí)，fn(x)1，則fn(x)，可得fn(2)(n1)2n1.(2)證明因?yàn)閒n(0)10，fn112n1220，所以fn(x)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又fn(x)12xnxn10，所以fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)an，由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an，所以0anan1n.