第16練定積分問題題型分析高考展望定積分在理科高考中，也是重點考查內(nèi)容.主要考查定積分的計算和利用定積分求不規(guī)則圖形的面積，題目難度不大，多為中低檔題目，常以選擇題、填空題的形式考查，掌握定積分的計算公式，會求各種類型的曲邊圖形的面積是本節(jié)重點.?？碱}型精析題型一定積分的計算例1(1)(2014陜西)定積分(2xex)dx的值為()A.e2 B.e1C.e D.e1(2)(2014江西)若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx等于()A.1 B.C. D.1點評(1)計算定積分要先將被積函數(shù)化簡后利用運算性質(zhì)分解成幾個簡單函數(shù)的定積分，再利用微積分基本定理求解；(2)對有關(guān)函數(shù)圖象和圓的定積分問題可以利用定積分的幾何意義求解.變式訓(xùn)練1(1)設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. B.C. D.不存在(2)若定積分dx，則m等于()A.1 B.0C.1 D.2題型二利用定積分求曲邊梯形的面積例2(1)(2014山東)直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A.2 B.4C.2 D.4(2)直線l過拋物線C：x24y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于()A. B.2C. D.(3)由曲線ysin x，ycos x與直線x0，x所圍成的平面圖形(如圖中的陰影部分所示)的面積是()A.1 B.C. D.22點評求曲邊多邊形面積的步驟：(1)畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖形.(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上限、下限.(3)將曲邊梯形的面積表示為若干個定積分之和.(4)計算定積分.變式訓(xùn)練2(2015陜西)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為_.高考題型精練1.已知自由落體運動的速率vgt，則落體運動從t0到tt0所走的路程為()A. B.gtC. D.2.(2015廣州模擬)若(sin xacos x)dx2，則實數(shù)a等于()A.1 B.1C. D.3.由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A. B.1C. D.4.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S10(12x)dx，S2017，則S30為()A.15 B.20C.25 D.305.(2015德州模擬)圖中陰影部分的面積是()A.16 B.18C.20 D.226.(2015北京朝陽區(qū)模擬)設(shè)f(x)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為()A. B.C. D.7.(2014湖南)已知函數(shù)f(x)sin(x)，且f(x)dx0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸是( )A.x B.xC.x D.x8.設(shè)n4sin xdx，則二項式(x)n的展開式的常數(shù)項是()A.12 B.6C.4 D.19.曲線y與直線yx，x2所圍成的圖形的面積為_.10.(2015青島模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為_.11.(2015福建)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_.12.求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積.答案精析第16練定積分問題?？碱}型精析例1(1)C (2)B解析(1)(2xex)dx(x2ex)|e.故選C.(2)f(x)x22f(x)dx，f(x)dx(x32xf(x)dx)|2f(x)dx，f(x)dx.變式訓(xùn)練1(1)C(2)A解析(1)f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.(2)根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分dx的值就是函數(shù)y的圖象與x軸及直線x2，xm所圍成圖形的面積，y是一個半徑為1的半圓，其面積等于，而dx，即在區(qū)間2，m上該函數(shù)圖象應(yīng)為個圓，于是得m1，故選A.例2(1)D(2)C(3)D解析(1)令4xx3，解得x0或x2，S(4xx3)844，故選D.(2)拋物線方程為x24y，其焦點坐標為F(0,1)，故直線l的方程為y1.如圖所示，可知l與C圍成的圖形的面積等于矩形OABF的面積與函數(shù)yx2的圖象和x軸正半軸及直線x2圍成的圖形的面積的差的2倍(圖中陰影部分的2倍)，即S42dx4.(3)方法一由sin xcos x(x(0，)，得x.故所求陰影部分的面積S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) sin cos sin 0cos 0(cos sin )(cos sin )22.故選D.方法二由sin xcos x(x(0，)，得x.根據(jù)圖象的對稱性，可知所求陰影部分的面積S2 (cos xsin x)dx2(sin xcos x) 2(sin cos sin 0cos 0)22.故選D.變式訓(xùn)練21.2解析由題意可知最大流量的比即為橫截面面積的比，建立以拋物線頂點為原點的直角坐標系，如圖所示，設(shè)拋物線方程為yax2，將點(5,2)代入拋物線方程得a，故拋物線方程為yx2，拋物線的橫截面面積為S12dx2(m2)，而原梯形下底為1026(m)，故原梯形面積為S2(106)216，1.2.高考題型精練1.C 由題意，可知所走路程為gt2gt.2.A (sinxacosx)dx(cos xasin x)a12，a1.3.D cos xdx=sin xsin sin.4.A 由已知得S10(12x)dx12，據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得S1012，S20S105，S30S20S3017亦成等差數(shù)列，故有12S301710S3015.5.B Sdy18.6.A 根據(jù)定積分的運算法則，由題意，可知f(x)dxx2dxdxx3|ln x|1.7.A sin(x)dxcos(x)0，cos()cos 0.cos()cos 0.sin cos 0.sin()0.k1(k1Z).k1(k1Z).f(x)sin(xk1)(k1Z).由xk1k2(k1，k2Z)得x(k1k2)(k1，k2Z)，f(x)的對稱軸方程為x(k1k2)(k1，k2Z).故x為函數(shù)f(x)的一條對稱軸.8.B 由定積分得n4cos x4，二項式的通項公式為Tk1Cx4k()kC(1)kx42k，由42k0，得k2，所以常數(shù)項為T3C(1)26，故選B.9.ln 2解析S(x)dxln 2.10.1解析由曲線在原點處與x軸相切，可得f(0)b0，此時f(x)x3ax2x2(ax)，據(jù)定積分知陰影部分面積(x3ax2)dx，解得a1.11.解析由題意知，陰影部分的面積(4x2)dx，所求概率P.12.解由得交點A(1,1)；由得交點B(3，1).故所求面積Sdxdx.