第12練導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會題型題型分析高考展望本部分題目考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查形式主要為選擇題和填空題或者在解答題的某一步中出現(xiàn)(難度為低中檔)，內(nèi)容就是求導(dǎo)，注意審題是過點(diǎn)(x0，y0)的切線還是在點(diǎn)(x0，y0)處的切線.?？碱}型精析題型一直接求切線或切線斜率問題例1(1)(2015課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a_.(2)(2014大綱全國)曲線yxex1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于()A.2e B.e C.2 D.1點(diǎn)評導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，需注意以下兩點(diǎn)：(1)當(dāng)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是xx0；(2)注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線.曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求過某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解.變式訓(xùn)練1已知f(x)x3f()x2x，則f(x)的圖象在點(diǎn)(，f()處的切線斜率是_.題型二導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用例2(2014福建)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x>0時，x2<ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.點(diǎn)評已知切線求參數(shù)問題，主要利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，通過切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來構(gòu)造方程組求解.變式訓(xùn)練2(2015課標(biāo)全國)已知曲線yxln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.高考題型精練1.(2015陜西)設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為()A.(1，1) B.(1,1)C. D.2.(2015濟(jì)南模擬)曲線ye2x1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A. B. C. D.13.曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x24.曲線yxln x在點(diǎn)(e，e)處的切線與直線xay1垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()A.2 B.2 C. D.5.(2015南昌模擬)若曲線f(x)ax3bx2cxd (a，b，c>0)上不存在斜率為0的切線，則1的取值范圍是()A.(1，) B.1，)C.(2，) D.2，)6.已知函數(shù)f(x)x33x，若過點(diǎn)A(0，16)且與曲線yf(x)相切的切線方程為yax16，則實(shí)數(shù)a的值是()A.3 B.3 C.6 D.97.(2015北京東城區(qū)聯(lián)考)設(shè)aR，函數(shù)f(x)x3ax2(a3)x的導(dǎo)函數(shù)是f(x)，若f(x)是偶函數(shù)，則曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為()A.y3x B.y2xC.y3x D.y2x8.(2014江西)若曲線yxln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.9.(2015陜西)函數(shù)yxex在其極值點(diǎn)處的切線方程為_.10.(2015廣州質(zhì)檢)已知曲線C：f(x)x3axa，若過曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為_.11.(2014課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.12.(2015天津)已知函數(shù)f(x)4xx4，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)曲線yf(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為yg(x)，求證：對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)g(x)；(3)若方程f(x)a(a為實(shí)數(shù))有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1x2，求證：x2x1.答案精析第12練導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會題型?？碱}型精析例1(1)1(2)C解析(1)f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.(1，f(1)處的切線方程為y(a2)(13a)(x1).將(2,7)代入切線方程，得7(a2)(13a)，解得a1.(2)yex1xex1(x1)ex1，故曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y|x12.變式訓(xùn)練11解析f(x)3x22f()x1，令x，可得f()3()22f()1，解得f()1，所以f(x)的圖象在點(diǎn)(，f()處的切線斜率是1.例2(1)解由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)x<ln 2時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln 2時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)xln 2時，f(x)取得極小值，且極小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無極大值.(2)證明令g(x)exx2，則g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)>0.故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)1>0，因此，當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)證明方法一若c1，則excex.又由(2)知，當(dāng)x>0時，x2<ex.所以當(dāng)x>0時，x2<cex.取x00，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.若0<c<1，令k>1，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立.而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)，即x>2ln xln k成立.令h(x)x2ln xln k，則h(x)1.所以當(dāng)x>2時，h(x)>0，h(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增.取x016k>16，所以h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增.又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知k>ln k，k>ln 2,5k>0.所以h(x0)>0.即存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.綜上可知，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.方法二對任意給定的正數(shù)c，取x0，由(2)知，當(dāng)x>0時，ex>x2，所以ex >()2()2；當(dāng)x>x0時，ex>()2()2>()2x2.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.方法三首先證明當(dāng)x(0，)時，恒有x3<ex.證明如下：令h(x)x3ex，則h(x)x2ex.由(2)知，當(dāng)x>0時，x2<ex.從而h(x)<0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(0)1<0，即x3<ex.取x0，當(dāng)x>x0時，有x2<x3<ex.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2<cex.變式訓(xùn)練28解析由yxln x，得y1，得曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為ky|x12，所以切線方程為y12(x1)，即y2x1，此切線與曲線yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.高考題型精練1.B yex，曲線yex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1e01，設(shè)P(m，n)，y(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y (x>0)，曲線y (x>0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2 (m>0)，因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).2.A 因?yàn)閥2e2x，曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k2，切線方程為y2x2，該直線與直線y0和yx圍成的三角形如圖所示，其中直線y2x2與yx的交點(diǎn)為A，所以三角形面積S1.3.A 易知點(diǎn)(1，1)在曲線上，且y，所以切線斜率ky|x12.由點(diǎn)斜式得切線方程為y12(x1)，即y2x1.4.A 依題意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2，故選A.5.A 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax2bxc，所以11.函數(shù)f(x)圖象上不存在斜率為0的切線，也就是f(x)0無解，故b24ac<0，即ac>，所以>1，即1的取值范圍是(1，).6.D 先設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則切點(diǎn)在曲線y0x3x0上，求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率kf(x0)3x3，又切線過A、M兩點(diǎn)，所以k，則3x3.聯(lián)立可解得x02，y02，從而實(shí)數(shù)a的值為ak9.7.C f(x)3x22ax(a3)，又f(x)是偶函數(shù)，a0，即f(x)3x23.kf(0)3.曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y3x，故選C.8.(e，e)解析設(shè)P(x0，y0).yxln x，yln xx1ln x.k1ln x0.又k2，1ln x02，x0e.y0eln ee.點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e，e).9.y解析設(shè)yf(x)xex，令yexxexex(1x)0，得x1.當(dāng)x1時，y0；當(dāng)x1時，y0，故x1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，切線斜率為0，又f(1)e1，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為y0(x1)，即y.10.解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t3ata).由題意知，f(x)3x2a，切線的斜率為ky|xt3t2a，所以切線方程為y(t3ata)(3t2a)(xt).將點(diǎn)(1,0)代入式得，(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分別將t0和t代入式，得ka和ka，由題意它們互為相反數(shù)得a.11.(1)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由題意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)證明由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xex.設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當(dāng)x(0，)時，g(x)<0；當(dāng)x(，)時，g(x)>0.故g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g().設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x).所以當(dāng)x(0,1)時，h(x)>0；當(dāng)x(1，)時，h(x)<0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).所以g(x)h(x).又因?yàn)閮傻忍枱o法同時取到，所以g(x)>h(x).綜上，當(dāng)x>0時，g(x)>h(x)，即f(x)>1.12.(1)解由f(x)4xx4，可得f(x)44x3.當(dāng)f(x)0，即x1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)0，即x1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，).(2)證明設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0)，則x0，f(x0)12.曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程為yf(x0)(xx0)，即g(x)f(x0)(xx0).令函數(shù)F(x)f(x)g(x)，即F(x)f(x)f(x0)(xx0)，則F(x)f(x)f(x0).由于f(x)4x34在(，)上單調(diào)遞減，故F(x)在(，)上單調(diào)遞減，又因?yàn)镕(x0)0，所以當(dāng)x(，x0)時，F(xiàn)(x)0，當(dāng)x(x0，)時，F(xiàn)(x)0，所以F(x)在(，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減，所以對于任意的實(shí)數(shù)x，F(xiàn)(x)F(x0)0，即對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)g(x).(3)證明由(2)知g(x)12.設(shè)方程g(x)a的根為x2，可得x2.因?yàn)間(x)在(，)上單調(diào)遞減，又由(2)知g(x2)f(x2)ag(x2)，因此x2x2.類似地，設(shè)曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為yh(x)，可得h(x)4x.對于任意的x(，)，有f(x)h(x)x40，即f(x)h(x).設(shè)方程h(x)a的根為x1，可得x1.因?yàn)閔(x)4x在(，)上單調(diào)遞增，且h(x1)af(x1)h(x1)，因此x1x1，由此可得x2x1x2x1.