第2講立體幾何題型一空間中的平行與垂直問題例1(12分)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PCD.證明(1)連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，在CPA中，EFPA，3分又PA平面PAD，EF平面PAD，4分EF平面PAD.5分(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，CD平面PAD，CDPA.8分又PAPDAD，PAD是等腰直角三角形，10分且APD90，即PAPD.又CDPDD，PA平面PCD，又PA平面PAB，平面PAB平面PCD.12分評分細(xì)則第(1)問得分點(diǎn)1.不說明EF平面PAD，扣1分.2.不說明PA平面PAD，扣1分.第(2)問得分點(diǎn)1.不說明平面PAD平面ABCDAD，扣2分.2.不說明CDPDD，扣2分.3.不說明PA平面PAB，扣1分.第一步：將題目條件和圖形結(jié)合起來；第二步：根據(jù)條件尋找圖形中的平行、垂直關(guān)系；第三步：和要證結(jié)論相結(jié)合，尋找已知的垂直、平行關(guān)系和要證關(guān)系的聯(lián)系；第四步：嚴(yán)格按照定理?xiàng)l件書寫解題步驟.跟蹤訓(xùn)練1如圖，四棱錐PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn).(1)求證：CE平面PAD；(2)求證：平面EFG平面EMN. 題型二利用空間向量求角例2(12分)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于點(diǎn)F，F(xiàn)ECD，交PD于點(diǎn)E.(1)證明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值.規(guī)范解答(1)證明PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD.又CDAD，PDCDD，AD平面PCD.2分又PC平面PCD，ADPC.又AFPC，ADAFA，PC平面ADF，即CF平面ADF.4分(2)解設(shè)AB1，則在RtPDC中，CD1，又DPC30，PC2，PD，PCD60.由(1)知CFDF，DFCDsin 60，CFCDcos 60.又FECD，DE.同理EFCD.6分如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,1)，E(，0,0)，F(xiàn)(，0)，P(，0,0)，C(0,1,0).7分設(shè)m(x，y，z)是平面AEF的一個(gè)法向量，則又(，0，1)，(0，0)，令x4，則z，m(4,0，).9分由(1)知平面ADF的一個(gè)法向量為(，1,0).11分設(shè)二面角DAFE的平面角為，可知為銳角，故cos |cosm，|.故二面角DAFE的余弦值為.12分評分細(xì)則第(1)問得分點(diǎn)1.ADDC，PDAD及相關(guān)證明，每個(gè)給1分.2.證明線面垂直時(shí)條件完整得2分，不完整扣1分.第(2)問得分點(diǎn)1.寫出建系方法可得1分.2.寫出相應(yīng)點(diǎn)、向量的坐標(biāo)給2分，有錯誤根據(jù)相應(yīng)情況扣除分?jǐn)?shù)，長度單位可靈活選取.3.求出平面AEF的一個(gè)法向量給2分，只給出結(jié)果沒有過程，只給1分.4.寫(求)出平面ADF的一個(gè)法向量給2分.5.求出兩個(gè)法向量所成角的余弦值給1分.6.轉(zhuǎn)化為所求二面角的平面角的余弦值給1分.第一步：作出(或找出)具有公共交點(diǎn)的三條相互垂直的直線；第二步：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出特征點(diǎn)坐標(biāo)；第三步：求半平面的法向量n，m；第四步：求法向量n，m的夾角或cosm，n；第五步：將法向量的夾角轉(zhuǎn)化為二面角，要注意直觀判定二面角的大?。坏诹剑悍此蓟仡?查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)及解題規(guī)范.跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，DABDCB，EAEBAB1，PA，連接CE并延長交AD于F.(1)求證：AD平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.答案精析第2講立體幾何跟蹤訓(xùn)練1證明(1)方法一取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.又E為PB的中點(diǎn)，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE平面PAD.方法二連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形因此CFAD，又AD平面PAD，CF平面PAD，所以CF平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又因?yàn)锳BPA，所以EFAB，同理可證ABFG.又因?yàn)镋FFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG.所以AB平面EFG.又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因?yàn)镸N平面EMN，所以平面EFG平面EMN.跟蹤訓(xùn)練2(1)證明在ABD中，因?yàn)镋為BD中點(diǎn)，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB.因?yàn)镈ABDCB，所以EABECB，從而有FEDBECAEB，所以FEDFEA.故EFAD，AFFD，所以EFAB，GFPA.又因?yàn)镻A平面ABCD，ABAD，所以GFAD，EFAD，又GFEFF，故AD平面CFG.(2)解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.設(shè)平面BCP的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令y1，則x13，z12，n1(3，2)同理求得面DCP的法向量n2(1，2)，從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cos |cosn1，n2|.