第7練抓重點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)題型分析高考展望函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考必考內(nèi)容，以分段函數(shù)為載體是?？碱}型.主要以選擇題或填空題的形式考查，難度為中檔偏上.二輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)該重點(diǎn)訓(xùn)練函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力，收集函數(shù)應(yīng)用的不同題型，分析比較異同點(diǎn)，排查與其他知識(shí)的交匯點(diǎn)，找到此類問題的解決策略，通過訓(xùn)練提高解題能力.?？碱}型精析題型一函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用1.常用結(jié)論：設(shè)x1、x2a，b，則(x1x2) f(x1)f(x2)>0>0f(x)在a，b上遞增.(x1x2)f(x1)f(x2)<0<0f(x)在a，b上遞減.2.若f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則f(x)g(x)也是增函數(shù)，f(x)是減函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)同增異減的法則判斷.3.定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).4.奇偶性相同的兩函數(shù)的積為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩函數(shù)的積為奇函數(shù).例1(1)(2014湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(|xa2|x2a2|3a2).若xR，f(x1)f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.， B.，C.， D.，(2)(2014課標(biāo)全國)已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，f(2)0.若f(x1)>0，則x的取值范圍是_.點(diǎn)評(píng)(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，這是簡化問題的一種途徑.尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)f(x).(2)單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性.變式訓(xùn)練1(1)(2015天津)已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|x-m|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.abc B.cab C.acb D.cba(2)(2015北京)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2-x題型二函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的應(yīng)用重要結(jié)論：1.若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，都有f(ax)f(ax)，則f(x)關(guān)于xa對(duì)稱.2.若對(duì)于任意x都有f(xT)f(x)，則f(x)的周期為T.例2(1)已知函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)x1,0)時(shí)，f(x)x，則f(2 015)f(2 016)_.(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x).當(dāng)3x<1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x<3時(shí)，f(x)x，則f(1)f(2)f(3)f(2 016)_.點(diǎn)評(píng)利用函數(shù)的周期性、對(duì)稱性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.變式訓(xùn)練2已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f(x4)f(x)f(2)，且當(dāng)x0,2時(shí)，yf(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：f(2)0；x4為函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸；函數(shù)yf(x)在8,10上單調(diào)遞增；若方程f(x)m在6，2上的兩根為x1，x2，則x1x28.則所有正確命題的序號(hào)為_.題型三分段函數(shù)例3已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)評(píng)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系的不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示的.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).(2)在求分段函數(shù)f(x)解析式時(shí)，一定要首先判斷x屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式.變式訓(xùn)練3(2014浙江)設(shè)函數(shù)f(x) 若f(f(a)2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.高考題型精練1.(2015安徽)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()A.yln x B.yx21C.ysin x D.ycos x2.(2015陜西)設(shè)f(x)則f(f(2)等于()A.1 B. C. D.3.(2014山東)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A. B.(2，)C.(2，) D.2，)4.(2014江西)已知函數(shù)f(x)(aR)，若ff(1)1，則a等于()A. B.C.1 D.25.下列函數(shù)f(x)中，滿足“x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)<0”的是()A.f(x)x B.f(x)x3C.f(x)ln x D.f(x)2x6.函數(shù)yf(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)xf(x)<0成立，若a20.2f(20.2)，bln 2f(ln 2)，c(log)f(log)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b7.設(shè)函數(shù)g(x)x22(xR)，f(x) 則f(x)的值域是()A.，0(1，) B.0，)C.，) D.，0(2，)8.(2015青島模擬)對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A.(，2(1，)B.(，2(1，)C.(1，)(，)D.(1，)，)9.(2014安徽)若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù)，且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.10.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義mina，b設(shè)函數(shù)f(x)x3，g(x)log2x，則函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.11.已知函數(shù)f(x)其中x表示不超過x的最大整數(shù).若直線yk(x1)(k>0)與函數(shù)yf(x)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.12.已知函數(shù)yf(x)，xR，有下列4個(gè)命題：若f(12x)f(12x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；yf(x2)與yf(2x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；若f(x)為偶函數(shù)，且f(2x)f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；若f(x)為奇函數(shù)，且f(x)f(x2)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)為_.答案精析第7練抓重點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)?？碱}型精析例1(1)B(2)(1,3)解析(1)因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以當(dāng)0xa2時(shí)，f(x)(a2x2a2x3a2)x；當(dāng)a2<x<2a2時(shí)，f(x)(xa22a2x3a2)a2；當(dāng)x2a2時(shí)，f(x)(xa2x2a23a2)x3a2.綜上，函數(shù)f(x)(|xa2|x2a2|3a2)在x0時(shí)的解析式等價(jià)于f(x)因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象如下，觀察圖象可知，要使xR，f(x1)f(x)，則需滿足2a2(4a2)1，解得a.(2)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.又f(2)0，且f(x)在0，)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x1)>0，得2<x1<2，即1<x<3.變式訓(xùn)練1(1)B(2)B解析(1)由函數(shù)f(x)2|xm|1為偶函數(shù)，得m0，f(x)2|x|1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，log0.53log23，log25|log23|0，bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故選B.(2)由f(x)f(x)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知A為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，D為非奇非偶函數(shù).例2(1)1(2)336解析(1)由f(x)是(，)上的奇函數(shù)且f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，知f(x)的周期為4，f(2 015)f(3)f(1)1，f(2 016)f(4)f(0)0.f(2 015)f(2 016)101.(2)由f(x6)f(x)可知，函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 016)f(1)f(2)f(6)336336.變式訓(xùn)練2解析令x2，得f(2)f(2)f(2)，f(2)0，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故f(2)0，正確；根據(jù)可得f(x4)f(x)，可得函數(shù)f(x)的周期是4，由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故x4也是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，正確；根據(jù)函數(shù)的周期性可知，函數(shù)f(x)在8,10上單調(diào)遞減，不正確；由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x4對(duì)稱，故如果方程f(x)m在區(qū)間6，2上的兩根為x1，x2，則4，即x1x28，正確.故正確命題的序號(hào)為.例3解(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x).當(dāng)x>0時(shí)，x<0，有(x)2mx(x22x)，即x2mxx22x.m2.(2)由(1)知f(x)如圖. 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x22x(x1)21，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x22x(x1)21，當(dāng)x(，1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1,0)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.綜上知：函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)遞增.又函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增.解得1<a3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.變式訓(xùn)練3a解析f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a)2時(shí)，得f(a)2，而滿足f(a)2時(shí)，得a.高考題型精練1.D 對(duì)數(shù)函數(shù)yln x是非奇非偶函數(shù)；yx21為偶函數(shù)但沒有零點(diǎn)；ysin x是奇函數(shù)；ycos x是偶函數(shù)且有零點(diǎn)，故選D.2.C f(2)220，則f(f(2)f11，故選C.3.C 由題意知解得x>2或0<x<.故選C.4.A 由題意得f(1)2(1)2，ff(1)f(2)a224a1，a.5.A “x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)<0”等價(jià)于在(0，)上f(x)為減函數(shù)，易判斷f(x)x符合.6.B 因?yàn)楹瘮?shù)yf(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以yf(x)關(guān)于y軸對(duì)稱.所以函數(shù)yxf(x)為奇函數(shù).因?yàn)閤f(x)f(x)xf(x)，所以當(dāng)x(，0)時(shí)，xf(x)f(x)xf(x)<0，函數(shù)yxf(x)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x(0，)時(shí)，函數(shù)yxf(x)單調(diào)遞減.因?yàn)?<20.2<2,0<ln 2<1，log2，從而0<ln 2<20.2<log，所以b>a>c.7.D 由x<g(x)得x<x22，x<1或x>2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>2；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>8.當(dāng)x(，1)(2，)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?2，).當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0.當(dāng)x1,2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?.綜上可知，f(x)的值域?yàn)椋?(2，).8.B f(x)即f(x)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知B正確.9.解析f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，fff，fff.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x(1x)，f.當(dāng)1<x2時(shí)，f(x)sin x，fsin .又f(x)是奇函數(shù)，ff，ff.ff.10.1解析依題意，得h(x)當(dāng)0<x2時(shí)，h(x)log2x是增函數(shù)；當(dāng)x>2時(shí)，h(x)3x是減函數(shù)，h(x)在x2時(shí)取得最大值h(2)1.11.解析根據(jù)x表示的意義可知，當(dāng)0x<1時(shí)，f(x)x，當(dāng)1x<2時(shí)，f(x)x1，當(dāng)2x<3時(shí)，f(x)x2，以此類推，當(dāng)kx<k1時(shí)，f(x)xk，kZ，當(dāng)1x<0時(shí)，f(x)x1，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，直線yk(x1)過點(diǎn)(1,0)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時(shí)恰有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(2,1)時(shí)恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，在這兩條直線之間時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，故k.12.解析1，故函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，故正確；對(duì)于，令tx2，則問題等價(jià)于yf(t)與yf(t)圖象的對(duì)稱問題，顯然這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線t0對(duì)稱，即函數(shù)yf(x2)與yf(2x)的圖象關(guān)于直線x20即x2對(duì)稱，故正確；由f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，我們只能得到函數(shù)的周期為4，即只能推得函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x4k(kZ)對(duì)稱，不能推得函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，故錯(cuò)誤；由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由f(x)f(x2)，可得f(x)f(x2)，由于1，可得函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，故正確.