第5講圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題例1(12分)(2014課標(biāo)全國(guó))已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.規(guī)范解答解(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.2分又e，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.5分(2)當(dāng)lx軸時(shí)，不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，6分將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.7分當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時(shí)，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQd|PQ|.9分設(shè)t，則t>0，SOPQ.因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時(shí)等號(hào)成立，且滿足>0，11分所以，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)l的方程為yx2或yx2.12分評(píng)分細(xì)則第(1)問(wèn)得分點(diǎn)1.由直線的斜率，得出c值，得2分，列出關(guān)于c的方程，求解結(jié)果錯(cuò)誤只得1分.2.由橢圓的離心率求得a值得2分，得出E的方程得1分.第(2)問(wèn)得分點(diǎn)1.設(shè)出直線l的方程得1分，沒(méi)有考慮斜率不存在，直接設(shè)出直線方程不得分.2.直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出一元二次方程得1分，方程不正確，不得分.3.求出弦長(zhǎng)給1分，只給出弦長(zhǎng)值而沒(méi)有過(guò)程，不得分.4.求出三角形的面積得1分；只寫(xiě)出面積公式?jīng)]有代入數(shù)據(jù)，不給分.5.求出k值得2分，沒(méi)有驗(yàn)證是否滿足方程的判別式扣1分.6.寫(xiě)出直線l的方程得1分.第一步：由圓錐曲線幾何性質(zhì)及已知條件求參數(shù)a，b，c，e中某個(gè)值；第二步：求圓錐曲線方程；第三步：分析直線與圓錐曲線的關(guān)系，聯(lián)立方程，得一元二次方程；第四步：由“”或根與系數(shù)的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式等，尋找解決問(wèn)題的思路；第五步：通過(guò)化簡(jiǎn)、運(yùn)算，得出結(jié)果；第六步：回顧反思，查驗(yàn)問(wèn)題的完備性.跟蹤訓(xùn)練1(2014北京)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題例2(14分)(2014山東)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，ADF為正三角形.(1)求C的方程.(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.規(guī)范解答解(1)由題意知F(，0).設(shè)D(t,0)(t>0)，則FD的中點(diǎn)為(，0).因?yàn)閨FA|FD|，由拋物線的定義知3，解得t3p或t3(舍去).2分由3，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.4分(2)由(1)知F(1,0).設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD>0).因?yàn)閨FA|FD|，則|xD1|x01，由xD>0得xDx02，故D(x02,0)，故直線AB的斜率kAB.因?yàn)橹本€l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yxb，代入拋物線方程得y2y0，由題意0，得b.6分設(shè)E(xE，yE)，則yE，xE.當(dāng)y4時(shí)，kAE，可得直線AE的方程為yy0(xx0).由y4x0，整理可得y(x1)，直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0).當(dāng)y4時(shí)，直線AE的方程為x1，過(guò)點(diǎn)F(1,0)，所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0).9分由知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.10分設(shè)直線AE的方程為xmy1.因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上，故m.設(shè)B(x1，y1).直線AB的方程為yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入拋物線方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以點(diǎn)B到直線AE的距離為d4.12分則ABE的面積S416，當(dāng)且僅當(dāng)x0，即x01時(shí)等號(hào)成立.所以ABE的面積的最小值為16.14分評(píng)分細(xì)則第(1)問(wèn)得分點(diǎn)1.求出t的值，得2分，列出關(guān)于t的方程，求解結(jié)果錯(cuò)誤只得1分.2.得出拋物線方程得2分.第(2)問(wèn)得分點(diǎn)1.寫(xiě)出直線l1在y軸上的截距得2分.2.得出直線AE過(guò)定點(diǎn)得3分，只考慮當(dāng)y4，且得出此時(shí)直線AE過(guò)定點(diǎn)，只能得2分，只考慮當(dāng)y4且得出此時(shí)直線AE過(guò)定點(diǎn)，只能得1分.3.求出|AE|的長(zhǎng)，且結(jié)論正確給1分，只給出弦長(zhǎng)值而沒(méi)有過(guò)程，不得分.4.正確得出B到直線AE的距離得2分；只寫(xiě)對(duì)結(jié)果，但沒(méi)有過(guò)程只能得1分.5.求出面積的最小值得2分，沒(méi)有指出等號(hào)成立的條件扣1分.第一步：引進(jìn)參數(shù).從目標(biāo)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)相關(guān)參數(shù).一般地，引進(jìn)的參數(shù)是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等；第二步：列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表達(dá)出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程；第三步：探求直線過(guò)定點(diǎn).若是動(dòng)態(tài)的直線方程，將動(dòng)態(tài)的直線方程轉(zhuǎn)化成yy0k(xx0)的形式，則kR時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若是動(dòng)態(tài)的曲線方程，將動(dòng)態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化成f(x，y)g(x，y)0的形式，則R時(shí)曲線恒過(guò)的定點(diǎn)即是f(x，y)0與g(x，y)0的交點(diǎn)；第四步：下結(jié)論；第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問(wèn)題中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題時(shí)，引進(jìn)參數(shù)的目的是以這個(gè)參數(shù)為中介，通過(guò)證明目標(biāo)關(guān)系式與參數(shù)無(wú)關(guān)，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，離心率為e.(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案精析第5講圓錐曲線跟蹤訓(xùn)練1解(1)由題意得，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)直線AB與圓x2y22相切證明如下：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因?yàn)镺AOB，所以0，即tx02y00，解得t.當(dāng)x0t時(shí)，y0，代入橢圓C的方程，得t，故直線AB的方程為x，圓心O到直線AB的距離d.此時(shí)直線AB與圓x2y22相切當(dāng)x0t時(shí)，直線AB的方程為y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心O到直線AB的距離d.又x2y4，t，故d .此時(shí)直線AB與圓x2y22相切跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，由已知得解得所以b2a2c21.所以橢圓E的方程為y21.(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1m，y1)，(x2m，y2)，(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1y2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由得x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，則x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，所以mm2.因?yàn)閷?duì)于任意的k值，為定值，所以2m24m12(m22)，得m.所以M，此時(shí)，.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，則x1x22，x1x21，y1y2，由m，得.綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為.