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第10練　重應用——函數(shù)的實際應用 [題型分析高考展望]　函數(shù)的實際應用也是高考?？碱}型，特別是基本函數(shù)模型的應用，在選擇題、填空題、解答題中都會出現(xiàn)，多以實際生活、常見的自然現(xiàn)象為背景，較新穎、靈活，解決此類問題時，應從實際問題中分析涉及的數(shù)學知識，從而抽象出基本函數(shù)模型，然后利用基本函數(shù)的性質或相應的數(shù)學方法，使問題得以解決. 常考題型精析 題型一　基本函數(shù)模型的應用 例1　(1)(2014北京)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　) A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00分鐘 D.4.25分鐘 (2)為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y＝且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償. ①當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？ ②該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ 　 　 　 　 　 　 點評　解決實際應用問題關鍵在于讀題，讀題必須細心、耐心，從中分析出數(shù)學“元素”，確定該問題涉及的數(shù)學模型，一般程序如下： ???. 變式訓練1　(1)(2015北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況. 加油時間 加油量(升) 加油時的累計里程(千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日 48 35 600 注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程. 在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為(　　) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 (2)2015年“五一”期間某商人購進一批家電，每臺進價以按原價a扣去20%，他希望對貨物定一新價，以使每臺按新價讓利25%銷售后，仍可獲得售價20%的純利，則此商人經營這種家電的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關系式是______________. 題型二　分段函數(shù)模型的應用 例2　2015年4月，某地自來水苯超標，當?shù)刈詠硭緦λ|檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質，已知每投放質量為m的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y＝mf(x)，其中f(x)＝當藥劑在水中的濃度不低于4(毫克/升)時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時稱為最佳凈化. (1)如果投放的藥劑質量為m＝4，試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？ (2)如果投放藥劑質量為m，為了使在7天(從投放藥劑算起包括7天)之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量m的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 點評　函數(shù)有關應用題的常見類型及解題關鍵 (1)常見類型：與函數(shù)有關的應用題，經常涉及物價、 路程、產值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題. (2)解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答. 變式訓練2　季節(jié)性服裝當季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢，設某服裝開始時定價為10元，并且每周(7天)漲價2元，5周后開始保持20元價格平穩(wěn)銷售；10周后當季節(jié)即將過去時，平均每周削價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售. (1)試建立價格P與周次t之間的函數(shù)關系式； (2)若此服裝每件進價Q與周次t之間的關系為Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，試問該服裝第幾周每件銷售利潤最大？最大值是多少？(注：每件銷售利潤＝售價－進價) 　 　 高考題型精練 1.(2015北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是(　　) A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多 C.甲車以80千米/時的速度行駛1小時，消耗10升汽油 D.某城市機動車最高限速80千米/時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 2.(2014湖南)某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為(　　) A. B. C. D.－1 3.(2014陜西)如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) A.y＝x3－x B.y＝x3－x C.y＝x3－x D.y＝－x3＋x 4.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到(　　) A.300只 B.400只 C.600只 D.700只 5.如果在今后若干年內，我國國民經濟生產總值都控制在平均每年增長9%的水平，那么要達到國民經濟生產總值比1995年翻兩番的年份大約是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－2.954 3)(　　) A.2015年 B.2011年 C.2016年 D.2008年 6.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單元：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　) A.45.606萬元 B.45.6萬元 C.45.56萬元 D.45.51萬元 7.(2014福建)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________.(單位：元) 8.某化工廠打算投入一條新的生產線，但需要經環(huán)保部門審批后方可投入生產.已知該生產線連續(xù)生產n年的累計產量為f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)噸，但如果年產量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害.為保護環(huán)境，環(huán)保部門應給該廠這條生產線擬定最長的生產期限是______年. 9.一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經過______ min，容器中的沙子只有開始時的八分之一. 10.(2015四川)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系 y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是________小時. 11.為了保護學生的視力，課桌椅子的高度都是按一定的關系配套設計的.研究表明：假設課桌的高度為y cm，椅子的高度為x cm，則y應是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度x(cm) 40.0 37.0 課桌高度y(cm) 75.0 70.2 (1)請你確定y與x的函數(shù)關系式(不必寫出x的取值范圍). (2)現(xiàn)有一把高42.0 cm的椅子和一張高78.2 cm的課桌，它們是否配套？為什么？ 12.某企業(yè)實行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元，據(jù)評估在生產條件不變的情況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)純收益0.01萬元，但每年需付給每位下崗工人0.4萬元的生活費，并且企業(yè)正常運轉所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬元. (1)寫出y關于x的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍； (2)當1404時，≥4，解得44時，y′＝<0， 所以函數(shù)在區(qū)間(4,7]上單調遞減， 即≤y<3m，綜上知，≤y≤3m， 為使4≤y≤10恒成立，只要≥4且3m≤10即可， 即≤m≤. 所以應該投放的藥劑量m的最小值為. 變式訓練2　解　(1)P＝ (2)設該服裝每件銷售利潤為L元. 由題意，得 L＝ ＝ ①當t∈[0,5]時，Lmax＝9.125，此時t＝5； ②當t∈(5,10]時，Lmax＝8.5，此時t＝6或10； ③當t∈(10,16]時，Lmax＝7.125，此時t＝11； ∴第五周每件銷售利潤最大，最大值為9.125元. 高考題型精練 1.D [根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對.] 2.D [設年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1.] 3.A [函數(shù)在[－5,5]上為減函數(shù)，所以在[－5,5]上y′≤0，經檢驗只有A符合.故選A.] 4.A [將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300.] 5.B [設1995年生產總值為a，經過x年翻兩番，則a(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.] 6.B [依題意可設甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，所以總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)，所以當x＝10時，S有最大值為45.6(萬元).] 7.160 解析　設該長方體容器的長為x m，則寬為 m.又設該容器的造價為y元，則y＝204＋2(x＋)10，即y＝80＋20(x＋)(x>0).因為x＋≥2＝4(當且僅當x＝，即x＝2時取“＝”)，所以ymin＝80＋204＝160(元). 8.7 解析　設第n(n∈N*)年的年產量為an，則a1＝123＝3；當n≥2時，an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2.又a1＝3也符合an＝3n2，所以an＝3n2(n∈N*).令an≤150，即3n2≤150，解得－5≤n≤5，所以1≤n≤7，n∈N*，故最長的生產期限為7年. 9.16 解析　當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時， 即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b， 則t＝24，所以再經過16 min. 10.24 解析　由題意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝3eb＝192＝24. 11.解　(1)根據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數(shù)，故可設函數(shù)關系為y＝kx＋b. 將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)關系式， 得　∴ ∴y與x的函數(shù)關系式是y＝1.6x＋11. (2)把x＝42代入上述函數(shù)關系式中， 有y＝1.642＋11＝78.2. ∴給出的這套課桌椅是配套的. 12.解　(1)由題意可知， y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x ＝－x2＋x＋a. ∵a－x≥a，∴x≤a， 即x的取值范圍是中的自然數(shù). (2)∵y＝－2＋2＋a， 且140

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