第17練三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值題型分析高考展望三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值在高考中頻繁出現(xiàn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力.運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，屬于比較簡(jiǎn)單的題目，這就要求在解決此類題目時(shí)不能丟分，由于三角函數(shù)部分公式比較多，要熟練記憶、掌握并能靈活運(yùn)用.?？碱}型精析題型一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)與求值基本公式：sin2cos21；tan .基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代換，即1sin2cos2；(3)在進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算時(shí)，注意判斷符號(hào).例1已知tan 2，求：(1)的值；(2)3sin23sin cos 2cos2的值.點(diǎn)評(píng)本題(1)(2)兩小題的共同點(diǎn)：都是正弦、余弦的齊次多項(xiàng)式.對(duì)于這樣的多項(xiàng)式一定可以化成切函數(shù)，分式可以分子分母同除“cos ”的最高次冪，整式可以看成分母為“1”，然后用sin2cos2代換“1”，變成分式后再化簡(jiǎn).變式訓(xùn)練1(2015福建)若sin ，且為第四象限角，則tan 的值等于()A. B. C. D.題型二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)與求值1.六組誘導(dǎo)公式分兩大類，一類是同名變換，即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”；一類是異名變換，即“函數(shù)名稱變，符號(hào)看象限”.2.誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的基本原則：負(fù)化正，大化小，化到銳角為最好！例2(1)化簡(jiǎn)：；(2)求值：sin 690sin 150cos 930cos(570)tan 120tan 1 050.點(diǎn)評(píng)熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧.變式訓(xùn)練2(1)(2015四川)已知sin 2cos 0，則2sin cos cos2的值是_.(2)已知cosa (|a|1)，則cossin的值是_.題型三利用其他公式、代換等化簡(jiǎn)求值兩角和與差的三角函數(shù)的規(guī)律有三個(gè)方面：(1)變角，目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名，通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等.(3)變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.例3(1)化簡(jiǎn)：(0<<)；(2)求值：sin 10(tan 5).(3)設(shè)f(x)sin xa2sin的最大值為3，則常數(shù)a_.點(diǎn)評(píng)(1)二倍角公式是三角變換的主要公式，應(yīng)熟記、巧用，會(huì)變形應(yīng)用.(2)重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)墓胶愕茸冃?變式訓(xùn)練3(1)在ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan tan tan tan 的值為_(kāi).(2)的值是()A. B.C. D.高考題型精練1.(2015陜西)“sin cos ”是“cos 20”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知sin，那么cos 等于()A. B. C. D.3.若tan，且<<0，則等于()A. B.C. D.4.已知f(x)sin2，若af(lg 5)，bf(lg )，則()A.ab0 B.ab0C.ab1 D.ab15.若0<<，<<0，cos，cos，則cos等于()A. B. C. D.6.(2014課標(biāo)全國(guó))設(shè)(0，)，(0，)，且tan ，則()A.3 B.2C.3 D.27.(2015江蘇)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_(kāi).8.計(jì)算：_.9.(2015咸陽(yáng)模擬)已知，且2sin2sin cos 3cos20，則_.10.(2015廣東)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值.11.已知函數(shù)f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.12.(2014江蘇)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值.答案精析專題4 三角函數(shù)與平面向量第17練三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值?？碱}型精析例1解(1)方法一tan 2，cos 0，.方法二由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos 2cos2.變式訓(xùn)練1 D解析sin ，且為第四象限角，cos ，tan ，故選D.例2解(1)方法一原式1.方法二原式1.(2)原式sin(72030)sin(18030)cos(1 080150)cos(720150)tan(18060)tan(1 08030)sin 30sin 30cos 150cos 150tan 60tan 301.變式訓(xùn)練2答案(1)1(2)0解析(1)sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2，又2sin cos cos2，原式1.(2)coscoscosa.sinsincosa，cossin0.例3解(1)由(0，)，得0<<，cos >0.因此 2cos .又(1sin cos )(sin cos )(2sin cos 2cos2)(sin cos )2cos (sin2cos2)2cos cos .故原式cos .(2)原式sin 10()sin 10sin 102cos 10.(3)解析f(x)sin xa2sincos xsin xa2sinsina2sin(a2)sin.依題意有a23，a.變式訓(xùn)練3(1)(2)C解析(1)因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .(2)原式.高考題型精練1.A sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin sin cos ，故選A.2.C sincos .3.A 由tan，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .4.C af(lg 5)sin2(lg 5)，bf(lg )sin2(lg )，則可得ab1.5.C cos，0<<，sin.又cos，<<0，sin，coscoscoscossinsin.6.B 方法一由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin().(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.方法二tan tan()，k()，kZ，22k，kZ.當(dāng)k0時(shí)，滿足2，故選B.7.3 tan 2，tan()，解得tan 3.8.4解析原式4.9.解析，且2sin2sin cos 3cos20，則(2sin 3cos )(sin cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.10.解(1)tan3.(2)1.11.解(1)fcos2sin cos 2.(2)因?yàn)閒(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin.所以fsinsin.又因?yàn)閟in ，且，所以cos ，所以f.12.解(1)因?yàn)?，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscos cos 2sin sin 2.第 17 頁(yè) 共 17 頁(yè)