第13練必考題型導數(shù)與單調性題型分析高考展望利用導數(shù)研究函數(shù)單調性是高考每年必考內容，多以綜合題中某一問的形式考查，題目承載形式多種多樣，但其實質都是通過求導判斷導數(shù)符號，確定單調性.題目難度為中等偏上，一般都在最后兩道壓軸題上，這是二輪復習的得分點，應高度重視.?？碱}型精析題型一利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間求函數(shù)的單調區(qū)間的“兩個”方法(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；求導數(shù)yf(x)；解不等式f(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；解不等式f(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.(2)確定函數(shù)yf(x)的定義域；求導數(shù)yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內的一切實根；把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；確定f(x)在各個區(qū)間內的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應區(qū)間內的單調性.例1已知函數(shù)f(x)ax2ln x，g(x)bx，其中a，bR.設h(x)f(x)g(x).若f(x)在x處取得極值，且f(1)g(1)2，求函數(shù)h(x)的單調區(qū)間.點評利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，關鍵是要嚴格解題步驟，形成解這類問題的基本程序.變式訓練1(2015重慶)已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR)在x處取得極值.(1)確定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，討論g(x)的單調性.題型二已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調性求參數(shù)的值或取值范圍例2(2015西安模擬)已知函數(shù)f(x)3ax2x2ln x，a為常數(shù).(1)當a1時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調函數(shù)，求a的取值范圍.點評已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)的單調性，求參數(shù)的取值范圍的方法(1)利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.(2)轉化為不等式的恒成立問題求解：即“若函數(shù)單調遞增，則f(x)0；若函數(shù)單調遞減，則f(x)0”.變式訓練2(2015重慶)設函數(shù)f(x)(aR).(1)若f(x)在x0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若f(x)在3，)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.題型三與函數(shù)導數(shù)、單調性有關的圖象問題例3已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，下面四個圖象中，yf(x)的圖象可能是()點評利用導數(shù)判斷圖象，應先分清原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象；看導函數(shù)圖象，要看哪一部分大于0，哪一部分小于0，看原函數(shù)圖象要看單調性.變式訓練3(2015安徽)函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()A.a>0，b<0，c>0，d>0B.a>0，b<0，c<0，d>0C.a<0，b<0，c>0，d>0D.a>0，b>0，c>0，d<0高考題型精練1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(b)>f(d)2.(2014課標全國)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)單調遞增，則k的取值范圍是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)3.若函數(shù)yf(x)在R上可導，且滿足不等式xf(x)>f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式一定成立的是()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)4.(2015太原模擬)定義在上的函數(shù)f(x)，f(x)是它的導函數(shù)，且恒有f(x)<f(x)tan x成立，則()A.f>f B.f(1)<2fsin 1C.f>f D.f<f5.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)0，當x>0時，有<0恒成立，則不等式x2f(x)>0的解集是()A.(2,0)(2，)B.(2,0)(0,2)C.(，2)(2，)D.(，2)(0,2)6.若函數(shù)f(x)x2ax在(，)是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A.1,0 B.1，)C.0,3 D.3，)7.設函數(shù)f(x)ln xax，g(x)exax，其中a為常數(shù).若f(x)在(1，)上是減函數(shù)，且g(x)在(1，)上有最小值，則a的取值范圍是()A.(e，) B.e，)C.(1，) D.1，)8.函數(shù)f(x)exln(x1)的單調遞增區(qū)間是_.9.已知函數(shù)f(x)mx2ln x2x在定義域內是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為_.10.若函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域內的一個子區(qū)間(k1，k1)內不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是_.11.已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當a2時，求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)是否為R上的單調函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由.12.(2015課標全國)已知函數(shù)f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)當a為何值時，x軸為曲線yf(x)的切線；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，設函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x>0)，討論h(x)零點的個數(shù).答案精析第13練必考題型導數(shù)與單調性?？碱}型精析例1解因為f(x)ax，所以f(1)a1.由f(1)g(1)2可得ab3.又f(x)在x處取得極值，所以fa0，所以a2，b1.所以h(x)x2ln xx，其定義域為(0，).h(x)2x1，令h(x)0得x1，x21，當x(0,1)時，h(x)>0；當x(1，)時，h(x)<0.所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增，在區(qū)間(1，)上單調遞減.變式訓練1解(1)對f(x)求導得f(x)3ax22x，因為f(x)在x處取得極值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.當x4時，g(x)0，故g(x)為減函數(shù)；當4x1時，g(x)0，故g(x)為增函數(shù)；當1x0時，g(x)0，故g(x)為減函數(shù)；當x0時，g(x)0，故g(x)為增函數(shù).綜上知g(x)在(，4)和(1,0)內為減函數(shù)，在(4，1)和(0，)內為增函數(shù).例2解(1)當a1時，f(x)3x2x2ln x，函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)34x.由f(x)>0，得0<x<1；由f(x)<0，得x>1.故函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間是(0,1)，單調減區(qū)間是(1，).(2)f(x)3a4x.若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調函數(shù)，則f(x)0，或f(x)0在區(qū)間1,2上恒成立.于是3a4x0，或3a4x0在區(qū)間1,2上恒成立，即3a4x，或3a4x在區(qū)間1,2上恒成立.令h(x)4x，則h(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù).因此h(x)maxh(2)，h(x)minh(1)3.即3a或3a3，故a或a1.所以a的取值范圍為(，1.變式訓練2解(1)對f(x)求導得f(x)，因為f(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即a0.當a0時，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，從而f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y(x1)，化簡得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.當xx1時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù)；當x1xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為增函數(shù)；當xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù).由f(x)在3，)上為減函數(shù)，知x23，解得a，故a的取值范圍為.例3B 由函數(shù)yxf(x)的圖象知，x<1時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)；1<x<0時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；0<x<1時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；x>1時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù).故選項B的圖象符合.變式訓練3A 由已知f(0)d>0，可排除D；其導函數(shù)f(x)3ax22bxc且f(0)c>0，可排除B；又f(x)0有兩不等實根，且x1x20，所以a0，故選A.高考題型精練1.C 由f(x)的圖象知，xa，c時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，c>b>a，f(c)>f(b)>f(a).2.D 由于f(x)k，f(x)kxln x在區(qū)間(1，)單調遞增f(x)k0在(1，)上恒成立.由于k，而0<<1，所以k1.即k的取值范圍為1，).3. B 令F(x)xf(x)，則F(x)xf(x)f(x)，由xf(x)>f(x)，得xf(x)f(x)>0，即F(x)>0，所以F(x)在R上為遞增函數(shù).因為a>b，所以af(a)>bf(b).4.D f(x)<f(x)tan x，即f(x)sin xf(x)cos x>0，>0.函數(shù)在上單調遞增，從而<，即f<f.5.D x>0時<0，(x)為減函數(shù)，又(2)0，當且僅當0<x<2時，(x)>0，此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù).故x2f(x)>0的解集為(，2)(0,2).6.D 由題意知f(x)0對任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0對任意的x(，)恒成立，分離參數(shù)得a2x，若滿足題意，需a(2x)max，令h(x)2x，x(，)，因為h(x)2，所以當x(，)時，h(x)<0，即h(x)在x(，)上單調遞減，所以h(x)<h()3，故a3.7.A f(x)a，g(x)exa，由題意得，當x(1，)時f(x)0恒成立，即x(1，)時a恒成立，則a1.因為g(x)exa在(1，)上單調遞增，所以g(x)>g(1)ea.又g(x)在(1，)上有最小值，則必有ea<0，即a>e.綜上，a的取值范圍是(e，).8.(0，)解析f(x)ex，該函數(shù)單調遞增且f(0)0，所以當x>0時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(0，).9.1，)解析f(x)mx20對一切x>0恒成立，m2，令g(x)2，則當1時，函數(shù)g(x)取最大值1，故m1.10.1，)解析f(x)的定義域為(0，)，f(x)4x.由f(x)0，得x.據(jù)題意得解得1k<.11.解(1)當a2時，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x22)ex>0.ex>0，x22>0，解得<x<.函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(，).(2)若函數(shù)f(x)在R上單調遞減，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立.ex>0，x2(a2)xa0對xR都成立.(a2)24a0，即a240，不成立.故函數(shù)f(x)不可能在R上單調遞減.若函數(shù)f(x)在R上單調遞增，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立，ex>0，x2(a2)xa0對xR都成立.而(a2)24aa24>0，故函數(shù)f(x)不可能在R上單調遞增.綜上可知，函數(shù)f(x)不可能是R上的單調函數(shù).12.解(1)設曲線yf(x)與x軸相切于點(x0,0)，則f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，當a時，x軸為曲線yf(x)的切線.(2)當x(1，)時，g(x)ln x<0，從而h(x)minf(x)，g(x)g(x)<0，故h(x)在(1，)無零點.當x1時，若a，則f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零點；若a<，則f(1)<0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)<0，故x1不是h(x)的零點.當x(0,1)時，g(x)ln x>0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù).()若a3或a0，則f(x)3x2a在(0,1)無零點，故f(x)在(0,1)單調.而f(0)，f(1)a，所以當a3時，f(x)在(0,1)有一個零點；當a0時，f(x)在(0,1)沒有零點.()若3<a<0，則f(x)在單調遞減，在單調遞增，故在(0,1)中，當x時，f(x)取得最小值，最小值為f.若f>0，即<a<0，f(x)在(0,1)無零點；若f0，即a，f(x)在(0,1)有唯一零點；若f<0，即3<a<，由于f(0)，f(1)a，所以當<a<時，f(x)在(0,1)有兩個零點；當3<a時，f(x)在(0,1)有一個零點.綜上，當a>或a<時，h(x)有一個零點；當a或a時，h(x)有兩個零點；當<a<時，h(x)有三個零點.