第4講數(shù)列問題題型一數(shù)列通項(xiàng)與求和例1(12分)(2014江西)已知首項(xiàng)都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.規(guī)范解答解(1)因?yàn)閎n0，所以由anbn1an1bn2bn1bn0，得20，2分即2，3分所以cn1cn2，所以cn是以c11為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，5分所以cn1(n1)22n1.6分(2)因?yàn)閎n3n1，cn2n1.所以ancnbn(2n1)3n1.7分所以Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，9分作差得：2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，11分所以Sn(n1)3n1.12分評分細(xì)則第(1)問得分點(diǎn)1.利用已知條件合理轉(zhuǎn)化得2分.2.寫成等差數(shù)列定義形式得1分.3.得出其首項(xiàng)、公差進(jìn)而寫出通項(xiàng)得3分.第(2)問得分點(diǎn)1.由bn3n1，cn2n1，得到an的通項(xiàng)得1分.2.在等式兩端同乘以3給2分.3.錯位相減給1分.4.錯位相減后求和正確得2分.5.最后結(jié)果整理得1分.第一步：由已知條件確定an是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；第二步：由等差數(shù)列或等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得an的通項(xiàng)公式；第三步：分析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.(例如：公式法、裂項(xiàng)法，本題用錯位相減法)；第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論；第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題中在求an時，易忽視對n1，n2時的討論.跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.題型二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例2(12分)(2014浙江)已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an()bn(nN*).若an為等比數(shù)列，且a12，b36b2.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn(nN*).記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.求Sn；求正整數(shù)k，使得對任意nN*，均有SkSn.規(guī)范解答解(1)由題意知a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()68.2分又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n(nN*)，4分所以，a1a2a3an()n(n1).故數(shù)列bn的通項(xiàng)為bnn(n1)(nN*).6分(2)由(1)知cn(nN*)，Sn(1)，所以Sn(nN*).8分因?yàn)閏10，c2>0，c3>0，c4>0，9分當(dāng)n5時，cn，而>0，得<1，所以，當(dāng)n5時，cn<0.11分綜上，對任意nN*恒有S4Sn，故k4.12分評分細(xì)則第(1)問得分點(diǎn)1.利用已知條件得到a38得2分；得出b2，b3的關(guān)系式也給1分.2.解對an2n得2分，求出q可得1分，但q2不舍去不得分.3.解出bn得2分.第(2)問得分點(diǎn)1.裂項(xiàng)得1分，求和寫出正確結(jié)果得1分，不管過程有無.2.驗(yàn)算前4項(xiàng)給1分.3.驗(yàn)算后給出最后結(jié)果給2分.4.證明方式不唯一，只要論證合理，同樣得分.第一步：由已知條件和數(shù)列性質(zhì)求基本量，確定數(shù)列的特性(等差或等比數(shù)列)；第二步：求出an或Sn的通項(xiàng)公式；第三步：分析an，Sn涉及的函數(shù)或不等式，利用相關(guān)函數(shù)或不等式性質(zhì)解決題目中的問題；第四步：得出結(jié)果，敘述完整；第五步：回顧反思.查驗(yàn)“n”的取值是否符合要求，運(yùn)算過程是否有不當(dāng)之處.跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)是函數(shù)f(x)ax (a>0，且a1)的圖象上的一點(diǎn).等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f(n)c.數(shù)列bn (bn>0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn1 (n2).(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？答案精析第4講數(shù)列問題跟蹤訓(xùn)練1解(1)當(dāng)nkN*時，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，從而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因?yàn)閎n，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.跟蹤訓(xùn)練2解(1)f(1)a，f(x)x.由題意知，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又?jǐn)?shù)列an是等比數(shù)列，a1c，c1.又公比q，ann12n (nN*)SnSn1()() (n2)又bn>0，>0，1.數(shù)列構(gòu)成一個首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，1(n1)1n，即Snn2.當(dāng)n2時，bnSnSn1n2(n1)22n1，當(dāng)n1時，b11也適合此通項(xiàng)公式bn2n1 (nN*)(2)Tn.由Tn>，得n>，滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為101.