第37練用樣本估計(jì)總體題型分析高考展望用樣本估計(jì)總體在高考中也是熱點(diǎn)部分，考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題，重點(diǎn)是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征，屬于比較簡(jiǎn)單的題目.常考題型精析題型一頻率分布直方圖的應(yīng)用例1(2015廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？點(diǎn)評(píng)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.(2)平均數(shù)：平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).變式訓(xùn)練1某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100.(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分；(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績?cè)?0,90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445題型二莖葉圖的應(yīng)用例2(1)(2015重慶)重慶市2013年各月的平均氣溫(C)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：0891258200338312則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.19 B.20 C.21.5 D.23(2)(2015山東)為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫情況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：甲乙986289113012甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為()A. B. C. D.點(diǎn)評(píng)由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表試題時(shí)，就要充分使用這個(gè)圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對(duì)某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對(duì)數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計(jì)算等.變式訓(xùn)練2為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：(1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為1，2，估計(jì)12的值.題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征例3(1)(2014陜西)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，x10，其均值和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.，s21002 B.100，s21002C.，s2 D.100，s2(2)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_.點(diǎn)評(píng)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小.變式訓(xùn)練3甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績得分情況如圖.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績作出評(píng)價(jià).高考題型精練1.(2015陜西)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A.167 B.137C.123 D.932.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績分成6組：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()A.588 B.480 C.450 D.1203.(2014廣東)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖和圖所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A.200,20 B.100,20C.200,10 D.100,104.已知記錄7名運(yùn)動(dòng)員選手身高(單位：cm)的莖葉圖如圖，其平均身高為177 cm，因有一名運(yùn)動(dòng)員的身高記錄看不清楚，設(shè)其末位數(shù)為x，那么推斷x的值為()A.5 B.6C.7 D.85.在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個(gè)小矩形.若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n1)個(gè)小矩形面積之和的，且樣本容量為240，則中間一組的頻數(shù)是()A.32 B.30C.40 D.606.若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為，方差為s2，則()A.5，s2<2 B.5，s2>2C.>5，s2<2 D.>5，s2>27.某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成0,5)，5,10)，30,35)，35,40時(shí)，所作的頻率分布直方圖是()0731764430275543203854308.某班的全體學(xué)生參加英語測(cè)試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100.若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.609.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)分別是_.10.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是_.11.(2014北京)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號(hào)分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合計(jì)100(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫出結(jié)論)12.(2014廣東)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計(jì)20(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差.答案精析第37練用樣本估計(jì)總體常考題型精析例1解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201得：x0.007 5，所以直方圖中x的值是0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是230.因?yàn)?0.0020.009 50.011)200.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5得：a224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為220,240的用戶有0.012 52010025戶，月平均用電量為240,260)的用戶有0.007 52010015戶，月平均用電量為260,280)的用戶有0.0052010010戶，月平均用電量為280,300的用戶有0.002 5201005戶，抽取比例，所以月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取255戶.變式訓(xùn)練1解(1)由頻率分布直方圖知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語文成績的平均分為550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073(分).(3)由頻率分布直方圖知語文成績?cè)?0,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020.由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績?cè)谏鲜龈鞣謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,4020,3040,2025.故數(shù)學(xué)成績?cè)?0,90)之外的人數(shù)為100(5204025)10.例2(1)B(2)B解析(1)從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8,9,12,15,18,20,20,23，23,28,31,32，中間兩個(gè)數(shù)為20,20，故中位數(shù)為20，選B.(2)甲地5天的氣溫為：26,28,29,31,31，其平均數(shù)為甲29；方差為s(2629)2(2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6；標(biāo)準(zhǔn)差為s甲.乙地5天的氣溫為：28,29,30,31,32，其平均數(shù)為乙30；方差為s(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22；標(biāo)準(zhǔn)差為s乙.甲乙，s甲s乙.變式訓(xùn)練2解(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n，由已知條件0.05，則n600.在甲校高三年級(jí)抽取的30名學(xué)生中成績?cè)?0分及60分以上的人數(shù)為25，因此甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考的及格率大約是83.3%.(2)1(7132426222)4050460970980590230；2(514173320)40503601070108059030.12.例3(1)D(2)甲解析(1)，yixi100，所以y1，y2，y10的均值為100，方差不變，故選D.(2)甲乙9環(huán)，s(109)2(89)2(99)2(99)2(99)2，s(109)2(109)2(79)2(99)2(99)2>s，故甲更穩(wěn)定，故最佳人選應(yīng)為甲.變式訓(xùn)練3解(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動(dòng)，可知甲的成績?cè)诓粩嗵岣撸业某煽儎t無明顯提高.高考題型精練1.B 由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：11070%150(160%)137.故選B.2.B 少于60分的學(xué)生人數(shù)為600(0.050.15)120，不少于60分的學(xué)生人數(shù)為480.3.A 該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3 5002 0004 50010 000，則樣本容量為10 0002%200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2 0002%50%20，故選A.4.D 據(jù)莖葉圖可知177，解得x8.5.C 設(shè)中間小矩形的面積為S，則由題意知，解得S，即頻率為，所以中間一組的頻數(shù)為24040，故選C.6.A (x1x2x8)5，(x1x2x85)5，5，由方差定義及意義可知加入新數(shù)據(jù)5后，樣本數(shù)據(jù)取值的穩(wěn)定性比原來強(qiáng)，s2<2，故選A.7.A 由于頻率分布直方圖的組距為5，排除C、D，又0,5)，5,10)兩組各一人，排除B，應(yīng)選A.8.B 由頻率分布直方圖，低于60分的頻率為(0.010.005)200.3.該班學(xué)生人數(shù)n50.9.18,23解析根據(jù)莖葉圖分別將甲乙得分按從小到大順序排起來，根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23.10.甲解析甲(9.89.910.11010.2)10.0，乙(9.410.310.89.79.8)10.0；s(9.810)2(10.210)20.02，s(9.410)2(9.810)20.244>0.02.11.解(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有62210(名)，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是10.9.從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.(2)課外閱讀時(shí)間落在組4,6) 的有17人，頻率為0.17，所以a0.085.課外閱讀時(shí)間落在組8,10)的有25人，頻率為0.25，所以b0.125.(3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組.12.解(1)這20名工人年齡的眾數(shù)為：30；這20名工人年齡的極差為：401921.(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下：192888999300000111122240(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為：(1928329330531432340)2030；所以這20名工人年齡的方差為：(3019)2(3028)2(3029)2(3030)2(3031)2(3032)2(3040)212.6.