第6講函數與導數題型一利用導數研究函數的單調性與極值、最值問題例1(13分)(2014安徽)設函數f(x)1(1a)xx2x3，其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調性；(2)當x0,1時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.規(guī)范解答解(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)1a2x3x2.1分令f(x)0，得x1，x2，x1<x2，所以f(x)3(xx1)(xx2).2分當x<x1或x>x2時，f(x)<0；當x1<x<x2時，f(x)>0.4分故f(x)在(，x1)和(x2，)內單調遞減，在(x1，x2)內單調遞增.5分(2)因為a>0，所以x1<0，x2>0.6分當a4時，x21，由(1)知，f(x)在0,1上單調遞增，所以f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值；8分當0<a<4時，x2<1，由(1)知，f(x)在0，x2上單調遞增，在x2,1上單調遞減，所以f(x)在xx2處取得最大值.10分又f(0)1，f(1)a，所以當0<a<1時，f(x)在x1處取得最小值；11分當a1時，f(x)在x0處和x1處同時取得最小值；12分當1<a<4時，f(x)在x0處取得最小值.13分評分細則第(1)問得分點1.若沒寫出定義域可不扣分.2.若f(x)<0與f(x)>0解集出錯，只得2分.3.若(，x1)和(x2，)中間用連接，扣1分.第(2)問得分點1.沒根據a4與0<a<4分類討論，不得分.2.當0<a<4時，沒根據0<a<1，a1,1<a<4討論，扣3分.3.按a>4與0<a4分類討論，同樣得分.4.當0<a<4時，把a1合并在0<a<1或1<a<4討論，同樣得分.第一步：確定函數的定義域.如本題函數的定義域為R；第二步：求f(x)的導數f(x)；第三步：求方程f(x)0的根；第四步：利用f(x)0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列出表格；第五步：由f(x)在小開區(qū)間內的正、負值判斷f(x)在小開區(qū)間內的單調性；第六步：明確規(guī)范地表述結論；第七步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范.跟蹤訓練1已知函數f(x)(xR).其中aR.(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當a0時，求函數f(x)的單調區(qū)間與極值.題型二導數的綜合應用問題例2(12分)(2014課標全國)f(x)aln xx2bx(a1)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)<，求a的取值范圍.規(guī)范解答解(1)f(x)(1a)xb.1分由題設知f(1)0，解得b1.3分(2)f(x)的定義域為(0，)，由(1)知，f(x)aln xx2x，f(x)(1a)x1(x)(x1).5分若a，則1，故當x(1，)時，f(x)>0，f(x)在(1，)單調遞增.所以，存在x01，使得f(x0)<的充要條件為f(1)<，即1<，解得1<a<1.7分若<a<1，則>1，故當x(1，)時，f(x)<0，當x(，)時，f(x)>0，f(x)在(1，)單調遞減，在(，)單調遞增.所以，存在x01，使得f(x0)<的充要條件為f()<.而f()aln >，所以不合題意.9分若a>1，則f(1)1<.11分綜上，a的取值范圍是(1，1)(1，).12分評分細則第(1)問得分點1.若導函數求錯，不得分.2.若f(1)0解錯，只得2分.第(2)問得分點1.若沒求定義域，其他正確，不扣分.2.沒進行分類討論的，不得分.漏一類扣2分.3.沒有結論的扣1分.4.利用其他方法求解的，同樣得分.第一步：整理函數式，對其求導數；第二步：研究函數單調性，含參數的，要依題意對參數進行討論；第三步：應用函數單調性，解決題目涉及的問題，如存在性問題，恒成立問題，探索性問題等，主要依據是函數最值、單調性；第四步：得出綜合結論；第五步：回顧反思，查易錯點，驗規(guī)范性.跟蹤訓練2已知函數f(x)2ln xx2ax(aR).(1)當a2時，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數g(x)f(x)axm在，e上有兩個零點，求實數m的取值范圍.答案精析第6講函數與導數跟蹤訓練1解(1)當a1時，f(x)，f(2)，又f(x)，f(2).所以，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(x2)，即6x25y320.(2)f(x).由于a0，以下分兩種情況討論當a0時，令f(x)0，得到x1，x2a.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，a)a(a，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在區(qū)間，(a，)內為減函數，在區(qū)間內為增函數函數f(x)在x1處取得極小值f，且fa2.函數f(x)在x2a處取得極大值f(a)，且f(a)1.當a0時，令f(x)0，得到x1a，x2，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在區(qū)間(，a)，內為增函數，在區(qū)間內為減函數函數f(x)在x1a處取得極大值f(a)，且f(a)1.函數f(x)在x2處取得極小值f()，且fa2.綜上，當a>0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(，a)，單調遞減區(qū)間為(，)，(a，)，極大值為1，極小值為a2.當a<0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(，a)，(，)，單調遞減區(qū)間為(a，)，極大值為1，極小值為a2.跟蹤訓練2解(1)當a2時，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點坐標為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.x，e，當g(x)0時，x1.當<x<1時，g(x)>0；當1<x<e時，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e2<0，則g(e)<g()，g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有兩個零點的條件是解得1<m2，實數m的取值范圍是(1,2