第22練基本量破解等差、等比數(shù)列的法寶題型分析高考展望等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn)，經(jīng)常以一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，再加一個(gè)解答題的形式考查，題目難度可大可小，有時(shí)為中檔題，有時(shí)解答題難度較大.解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量，即通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì).?？碱}型精析題型一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1已知等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和為105，且a102a5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.點(diǎn)評等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本的元素.(2)解題思路：設(shè)基本量a1和公差d(公比q)；列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少計(jì)算量.變式訓(xùn)練1(1)(2014安徽)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.(2)(2015課標(biāo)全國)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7等于()A.21 B.42 C.63 D.84題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)(2015廣東)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.(2)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an，Sn為前n項(xiàng)和，且S1010，S3070，那么S40等于()A.150 B.200C.150或200 D.400或50點(diǎn)評等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)類型等差數(shù)列等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)2akamal(m，k，lN*且m，k，l成等差數(shù)列)aamal(m，k，lN*且m，k，l成等差數(shù)列)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)amanapaq(m，n，p，qN*且mnpq)和的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Snn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：q(公比)依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，構(gòu)成等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q1)變式訓(xùn)練2(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an，前20項(xiàng)和為100，則a7a14的最大值是_.(2)在等差數(shù)列an中，a12 016，其前n項(xiàng)和為Sn，若2，則S2 016的值為_.題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3(2015陜西)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，xn的各項(xiàng)和，其中x0，nN，n2.(1)證明：函數(shù)Fn(x)fn(x)2在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為xn)，且xnx；(2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明.點(diǎn)評(1)對數(shù)列an，首先弄清是等差還是等比，然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量，從而確定an、Sn.(2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，也是解決此類題目的主要方法.變式訓(xùn)練3(2015北京)已知等差數(shù)列an滿足a1a210，a4a32.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2a3，b3a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？高考題型精練1.(2014重慶)對任意等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是()A.a1，a3，a9成等比數(shù)列B.a2，a3，a6成等比數(shù)列C.a2，a4，a8成等比數(shù)列D.a3，a6，a9成等比數(shù)列2.(2014天津)設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于()A.2 B.2 C. D.3.已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為()A.110 B.90 C.90 D.1104.(2014大綱全國)等比數(shù)列an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)gan的前8項(xiàng)和等于()A.6 B.5 C.4 D.35.(2015北京)設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A.若a1a20，則a2a30B.若a1a30，則a1a20C.若0a1a2，則a2D.若a10，則(a2a1)(a2a3)06.(2015臨沂模擬)已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.57.(2015北京東城區(qū)模擬)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bnan1 (n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23,19,37,82中，則6q_.8.(2014北京)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大.9.(2015浙江)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1a21，則a1_，d_.10.(2015蘇州模擬)公差不為0的等差數(shù)列an的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，構(gòu)成等比數(shù)列，且k11，k22，k36，則k4_.11.已知數(shù)列an滿足a1且an1ana(nN*).(1) 證明：12(nN*)；(2)設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，證明：(nN*).12.(2015廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且當(dāng)n2時(shí)，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.答案精析專題5 數(shù)列第22練基本量破解等差、等比數(shù)列的法寶?？碱}型精析例1解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Tn，由T5105，a102a5，得解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*).(2)對mN*，若an7n72m，則n72m1.因此bm72m1.所以數(shù)列bm是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列，故Sm.變式訓(xùn)練1(1)1(2)B解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故選B.例2(1)10(2)A解析(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)依題意，數(shù)列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比數(shù)列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S20>0，因此S2030，S20S1020，S30S2040，則S40S3070150.變式訓(xùn)練2(1)25(2)2 016解析(1)S2020100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an>0，a7a14225.當(dāng)且僅當(dāng)a7a14時(shí)取等號.故a7a14的最大值為25.(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a12 016，公差d1，故2 016(2 0161)11，所以S2 0162 016.例3(1)證明Fn(x)fn(x)21xx2xn2，則Fn(1)n10，F(xiàn)n12n220，所以Fn(x)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又Fn(x)12xnxn10(x0)，故Fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以Fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)xn，因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn)，所以Fn(xn)0，即20，故xnx.(2)解方法一由題設(shè)，gn(x)，設(shè)h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.當(dāng)x1時(shí)，fn(x)gn(x)；當(dāng)x1時(shí)，h(x)12xnxn1，若0x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10，若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10，所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)，綜上所述，當(dāng)x1時(shí)，fn(x)gn(x)；當(dāng)x1時(shí)，fn(x)gn(x).方法二由已知，記等差數(shù)列為ak，等比數(shù)列為bk，k1,2，n1，則a1b11，an1bn1xn，所以ak1(k1)(2kn)，bkxk1(2kn)，令mk(x)akbk1xk1，x0(2kn)，當(dāng)x1時(shí)，akbk，所以fn(x)gn(x)，當(dāng)x1時(shí)，mk(x)nxn1(k1)xk2(k1)xk2(xxk11)，而2kn，所以k10，nk11，若0x1，xxk11，mk(x)0；若x1，xxk11，mk(x)0，從而mk(x)在(0,1)上遞減，在(1，)上遞增，所以mk(x)mk(1)0，所以當(dāng)x0且x1時(shí)，akbk(2kn)，又a1b1，an1bn1，故fn(x)gn(x)，綜上所述，當(dāng)x1時(shí)，fn(x)gn(x)；當(dāng)x1時(shí)，fn(x)gn(x).變式訓(xùn)練3解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍4a32，所以d2.又因?yàn)閍1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，).(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閎2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2，得n63，所以b6與數(shù)列an的第63項(xiàng)相等.高考題型精練1.D 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閝3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列.故選D.2.D 因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Snna1d，所以S1，S2，S4分別為a1,2a11,4a16.因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a11)2a1(4a16).解得a1.3.D a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S101020109(2)110.4.C 數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.5.C 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若a1a2>0，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2a3符號不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)；若a1a3<0，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正負(fù)不確定，因而a1a2符號不確定，故選項(xiàng)B錯(cuò)；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，aa1a3(a1d)2a1(a12d)d2>0，a2>，故選項(xiàng)C正確；若a1<0，則(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故選項(xiàng)D錯(cuò).6.D 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得7 (nN*)，故n1,2,3,5,11時(shí)，為整數(shù).即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.7.9解析由題意知，數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23，19,37,82中，說明an有連續(xù)四項(xiàng)在集合54，24，18,36,81中，由于an中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù)，q<0，又|q|>1，an的連續(xù)四項(xiàng)為24,36，54，81，q，6q9.8.8解析a7a8a93a8>0，a8>0.a7a10a8a9<0，a9<a8<0.數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n8.9.1解析因?yàn)閍2，a3，a7成等比數(shù)列，所以aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a1d，2a1a21，2a1a1d1即3a1d1，a1，d1.10.22解析根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1ak4a1(n1)(3a1)64a1，解得n22，即k422.11.證明(1)由題意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由0an得(1,2，即12成立.(2)由題意得aanan1，所以Sna1an1，由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*).由得(nN*).12.(1)解當(dāng)n2時(shí)，4S45S28S3S1，即4581，解得：a4.(2)證明因?yàn)?Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)，因?yàn)?a3a14164a2，所以4an2an4an1，因?yàn)椋詳?shù)列是以a2a11為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.(3)解由(2)知：數(shù)列是以a2a11為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以an1ann1，即4，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，所以2(n1)44n2，即an(4n2)n(2n1)n1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(2n1)n1.第 16 頁 共 16 頁