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第45練　數形結合思想 [思想方法解讀]　數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；②借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質. 數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍. 數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合.如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的. 常考題型精析 題型一　數形結合在方程根的個數中的應用 例1　方程sin πx＝的解的個數是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 點評　利用數形結合求方程解應注意兩點 (1)討論方程的解(或函數的零點)可構造兩個函數，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解. (2)正確作出兩個函數的圖象是解決此類問題的關鍵，數形結合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數形結合. 變式訓練1　若函數f(x)＝有且只有兩個不同的零點，則實數k的取值范圍是(　　) A.(－4,0) B.(－∞，0] C.(－4,0] D.(－∞，0) 題型二　利用數形結合解決不等式參數問題 例2　設函數f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]時，恒有f(x)≤g(x)，求實數a的取值范圍. 　 　 　 　 　 　 　 　 點評　利用數形結合解不等式或求參數的方法 求參數范圍或解不等式問題經常聯系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個(或多個)函數，利用兩個函數圖象的上、下位置關系轉化數量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答. 變式訓練2　若存在正數x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 題型三　利用數形結合求最值 例3　(2014北京)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則m的最大值為(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 點評　利用數形結合求最值的方法步驟 第一步：分析數理特征，確定目標問題的幾何意義.一般從圖形結構、圖形的幾何意義分析代數式是否具有幾何意義. 第二步：轉化為幾何問題. 第三步：解決幾何問題. 第四步：回歸代數問題. 第五步：回顧反思.應用幾何意義數形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離. 變式訓練3　已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值. 　 　 　 　 高考題型精練 1.(2014福建)已知函數f(x)＝則下列結論正確的是(　　) A.f(x)是偶函數 B.f(x)是增函數 C.f(x)是周期函數 D.f(x)的值域為[－1，＋∞) 2.若方程x＋k＝有且只有一個解，則k的取值范圍是(　　) A.[－1,1) B.k＝ C.[－1,1] D.k＝或k∈[－1,1) 3.已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是(　　) A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16] 4.已知a、b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 5.已知函數f(x)滿足下面關系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lg x解的個數是(　　) A.5 B.7 C.9 D.10 6.若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A.[－，] B.(－，) C.[－，] D.(－，) 7.(2015北京西城區(qū)模擬)設平面點集A＝{(x，y)|(y－x)(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A.π B.π C.π D. 8.(2014山東)已知函數y＝f(x)(x∈R)，對函數y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關于f(x)的“對稱函數”為函數y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關于點(x，f(x))對稱.若h(x)是g(x)＝關于f(x)＝3x＋b的“對稱函數”，且h(x)>g(x)恒成立，則實數b的取值范圍是________. 9.設關于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)內有相異的兩個實根α、β. (1)求實數a的取值范圍； (2)求α＋β的值. 　 　 　 　 　 　 　 10.已知函數f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，當20時，f(x)＝ln x與x軸有一個交點， 即f(x)有一個零點. 依題意，顯然當x≤0時，f(x)＝－kx2也有一個零點，即方程－kx2＝0只能有一個解. 令h(x)＝，g(x)＝kx2，則兩函數圖象在x≤0時只能有一個交點. 若k>0，顯然函數h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時有兩個交點，即點A與原點O(如圖所示). 顯然k>0不符合題意. 若k<0，顯然函數h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O(如圖所示). 若k＝0，顯然函數h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O. 綜上，所求實數k的取值范圍是(－∞，0].故選B.] 例2　解　∵f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1， 變形得≤x＋1－a， 令y1＝，① y2＝x＋1－a.② ①變形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)， 即表示以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓； ②表示斜率為，縱截距為1－a的平行直線系. 設與圓相切的直線為AT，其方程為y＝x＋b (b>0)， 則圓心(－2,0)到AT的距離為d＝， 由＝2，得b＝6或－(舍去). ∴當1－a≥6，即a≤－5時，f(x)≤g(x). 變式訓練2　D 解析　因為2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標系中，作出函數f(x)＝ x－a，g(x)＝2－x的圖象，如圖. 當x>0時，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D. 例3　B 解析　根據題意，畫出示意圖，如圖所示， 則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m. 因為∠APB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值， 即求圓C上的點P到原點O的最大距離. 因為|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值為6. 變式訓練3　解　從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線l時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. 所以(S四邊形PACB)min ＝2|PA||AC|＝2. 高考題型精練 1.D [函數f(x)＝的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確.] 2.D [令y1＝x＋k，y2＝， 則x2＋y2＝1(y≥0). 作出圖象如圖： 而y1＝x＋k中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個解?直線與上述半圓只有一個公共點?k＝或－1≤k<1.] 3.B [畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為|QA|2＝16. ∵d2＝2＝2. ∴取值范圍是[2,16].] 4.C [如圖，設O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c.由題意知C⊥C，∴O、A、C、B四點共圓.∴當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|O|＝.] 5.C [由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0,1]的函數. 又f(x)＝lg x，則x∈(0,10]，畫出兩函數圖象， 則交點個數即為解的個數. 由圖象可知共9個交點.] 6.C [設直線方程為y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點， 圓心到直線的距離小于等于半徑即d＝||≤1， 得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤.] 7.D [因為對于集合A，(y－x)≥0， 所以或其表示的平面區(qū)域如圖. 對于集合B，(x－1)2＋(y－1)2≤1表示以(1,1)為圓心，1為半徑的圓及其內部區(qū)域，其面積為π. 由題意意知A∩B所表示的平面圖形為圖中陰影部分，曲線y＝與直線y＝x將圓(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分.因為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與y＝的圖象都關于直線y＝x對稱，從而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，所以S陰影＝S2＋S4＝.] 8.(2，＋∞) 解析　由已知得 ＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立. 在同一坐標系內，畫出直線y＝3x＋b及半圓y＝(如圖所示)，可得>2，即b>2，故答案為(2，＋∞). 9.解　(1)原方程可化為sin(θ＋)＝－，作出函數y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的圖象. 由圖知，方程在(0,2π)內有相異實根α，β的充要條件 是 即－2＜a＜－或－＜a＜2. (2)由圖知：當－＜a＜2，即－∈時，直線y＝－與三角函數y＝sin(x＋)的圖象交于C、D兩點，它們中點的橫坐標為，所以＝， 所以α＋β＝. 當－2＜a＜－，即－∈時，直線y＝－與三角函數y＝sin(x＋)的圖象有兩交點A、B， 由對稱性知，＝，所以α＋β＝， 綜上所述，α＋β＝或. 10.解　由于20， 因此函數必在區(qū)間(2,3)內存在零點，故n＝2.