第45練數(shù)形結(jié)合思想思想方法解讀數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的.?？碱}型精析題型一數(shù)形結(jié)合在方程根的個(gè)數(shù)中的應(yīng)用例1方程sin x的解的個(gè)數(shù)是()A.5 B.6 C.7 D.8點(diǎn)評(píng)利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解.(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(4,0) B.(，0C.(4,0 D.(，0)題型二利用數(shù)形結(jié)合解決不等式參數(shù)問題例2設(shè)函數(shù)f(x)a和g(x)x1，已知x4,0時(shí)，恒有f(x)g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)評(píng)利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)的方法求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答.變式訓(xùn)練2若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是()A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)題型三利用數(shù)形結(jié)合求最值例3(2014北京)已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則m的最大值為()A.7 B.6 C.5 D.4點(diǎn)評(píng)利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟第一步：分析數(shù)理特征，確定目標(biāo)問題的幾何意義.一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義.第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題.第三步：解決幾何問題.第四步：回歸代數(shù)問題.第五步：回顧反思.應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值可考慮直線的斜率；(2)二元一次式可考慮直線的截距；(3)根式分式可考慮點(diǎn)到直線的距離；(4)根式可考慮兩點(diǎn)間的距離.變式訓(xùn)練3已知P是直線l：3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.高考題型精練1.(2014福建)已知函數(shù)f(x)則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)?，)2.若方程xk有且只有一個(gè)解，則k的取值范圍是()A.1,1) B.kC.1,1 D.k或k1,1)3.已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是()A.2,4 B.2,16C.4,10 D.4,164.已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是()A.1 B.2C. D.5.已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x1)f(x1)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)x2，則方程f(x)lg x解的個(gè)數(shù)是()A.5 B.7 C.9 D.106.若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A.， B.(，)C.， D.(，)7.(2015北京西城區(qū)模擬)設(shè)平面點(diǎn)集A(x，y)|(yx)(y)0，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A. B.C. D.8.(2014山東)已知函數(shù)yf(x)(xR)，對(duì)函數(shù)yg(x)(xI)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xI)，yh(x)滿足：對(duì)任意xI，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x)，(x，g(x)關(guān)于點(diǎn)(x，f(x)對(duì)稱.若h(x)是g(x)關(guān)于f(x)3xb的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_.9.設(shè)關(guān)于的方程cos sin a0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根、.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求的值.10.已知函數(shù)f(x)logaxxb(a>0，且a1)，當(dāng)2<a<3<b<4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n，n1)，nN*，求n的值.答案精析第45練數(shù)形結(jié)合思想常考題型精析例1C 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y1sin x和y2的圖象，如下圖：觀察圖象可知y1sin x和y2的圖象在第一象限有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，在第三象限也有3個(gè)交點(diǎn)，在加上原點(diǎn)，共7個(gè)交點(diǎn)，所以方程sin x有7個(gè)解.變式訓(xùn)練1B 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)ln x與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn).依題意，顯然當(dāng)x0時(shí)，f(x)kx2也有一個(gè)零點(diǎn)，即方程kx20只能有一個(gè)解.令h(x)，g(x)kx2，則兩函數(shù)圖象在x0時(shí)只能有一個(gè)交點(diǎn).若k>0，顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)A與原點(diǎn)O(如圖所示).顯然k>0不符合題意.若k<0，顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O(如圖所示).若k0，顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即原點(diǎn)O.綜上，所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，0.故選B.例2解f(x)g(x)，即ax1，變形得x1a，令y1，y2x1a.變形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓；表示斜率為，縱截距為1a的平行直線系.設(shè)與圓相切的直線為AT，其方程為yxb (b>0)，則圓心(2,0)到AT的距離為d，由2，得b6或(舍去).當(dāng)1a6，即a5時(shí)，f(x)g(x).變式訓(xùn)練2D解析因?yàn)?x>0，所以由2x(xa)<1得xa<2x，在直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)xa，g(x)2x的圖象，如圖.當(dāng)x>0時(shí)，g(x)2x<1，所以如果存在x>0，使2x(xa)<1，則有f(0)<1，即a<1，即a>1，所以選D.例3B解析根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因?yàn)锳PB90，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.變式訓(xùn)練3解從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x4y80向左上方或右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線l時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|PC|3，從而|PA|2.所以(S四邊形PACB)min 2|PA|AC|2.高考題型精練1.D 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確.2.D 令y1xk，y2，則x2y21(y0).作出圖象如圖：而y1xk中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個(gè)解直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)k或1k<1.3.B 畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，最大值為|QA|216.d222.取值范圍是2,16.4.C 如圖，設(shè)Oa，Ob，Oc，則Cac，Cbc.由題意知CC，O、A、C、B四點(diǎn)共圓.當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)，|O|.5.C 由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)?,1的函數(shù).又f(x)lg x，則x(0,10，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù).由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn).6.C 設(shè)直線方程為yk(x4)，即kxy4k0，直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑即d|1，得4k2k21，k2.所以k.7.D 因?yàn)閷?duì)于集合A，(yx)0，所以或其表示的平面區(qū)域如圖.對(duì)于集合B，(x1)2(y1)21表示以(1,1)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域，其面積為.由題意意知AB所表示的平面圖形為圖中陰影部分，曲線y與直線yx將圓(x1)2(y1)21分成S1，S2，S3，S4四部分.因?yàn)閳A(x1)2(y1)21與y的圖象都關(guān)于直線yx對(duì)稱，從而S1S2，S3S4，而S1S2S3S4，所以S陰影S2S4.8.(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b>，3xb>恒成立.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出直線y3xb及半圓y(如圖所示)，可得>2，即b>2，故答案為(2，).9.解(1)原方程可化為sin()，作出函數(shù)ysin(x)(x(0,2)的圖象.由圖知，方程在(0,2)內(nèi)有相異實(shí)根，的充要條件是即2a或a2.(2)由圖知：當(dāng)a2，即時(shí)，直線y與三角函數(shù)ysin(x)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，它們中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以.當(dāng)2a，即時(shí)，直線y與三角函數(shù)ysin(x)的圖象有兩交點(diǎn)A、B，由對(duì)稱性知，所以，綜上所述，或.10.解由于2<a<3<b<4，故f(1)loga11b1b<0，而0<loga2<1,2b(2，1)，故f(2)loga22b<0，又loga3(1,2)，3b(1,0)，故f(3)loga33b>0，因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點(diǎn)，故n2.