第26練完美破解立體幾何證明題題型分析高考展望立體幾何證明題，是高考必考題，證明平行、垂直關(guān)系是主要題型，特別是垂直關(guān)系尤為重要.掌握判定定理、性質(zhì)定理并能靈活運用是解題的根本.學(xué)會分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關(guān)鍵，在二輪復(fù)習(xí)中，通過專題訓(xùn)練，使解立體幾何證明的能力更上一層樓，確保該類題型不失分.常考題型精析題型一空間中的平行問題例1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.點評證明平行關(guān)系的方法(1)證明線線平行的常用方法：利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；利用三角形中位線定理證明；利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明.(2)證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行；利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行.(3)證明面面平行的方法：證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.變式訓(xùn)練1(2015廣東)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)證明：BC平面PDA；(2)證明：BCPD；(3)求點C到平面PDA的距離.題型二空間中的垂直問題例2如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點.求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.點評(1)證明線面垂直的常用方法：利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直；利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)證明面面垂直的方法：證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線來解決.變式訓(xùn)練2(2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積.題型三空間中的平行、垂直綜合問題例3(2015山東)如圖，三棱臺DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點.(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH. 點評(1)立體幾何中，要證線垂直于線，常常先證線垂直于面，再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線.要證線平行于面，只需先證線平行于線，再用線平行于面的判定定理易得.(2)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)知識，因此需要多畫出一些圖形輔助使用.(3)平行關(guān)系往往用到三角形的中位線，垂直關(guān)系往往用到三角形高線、中線.變式訓(xùn)練3在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且ADPD2MA.(1)求證：平面EFG平面PMA；(2)求證：平面EFG平面PDC；(3)求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比.高考題型精練1.(2015廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交2.(2015玉溪質(zhì)檢)已知直線l平面，直線m平面，則“”是“l(fā)m”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件3.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，ACEFG.現(xiàn)在沿AE、EF、FA把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，則在四面體PAEF中必有()A.APPEF所在平面 B.AGPEF所在平面C.EPAEF所在平面 D.PGAEF所在平面4.(2015煙臺模擬)已知、是兩個不同的平面，給出下列四個條件：存在一條直線a，a，a；存在一個平面，；存在兩條平行直線a、b，a，b，a，b；存在兩條異面直線a、b，a，b，a，b，可以推出的是()A. B.C. D.5.(2014浙江)設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則()A.若mn，n，則mB.若m，則mC.若m，n，n，則mD.若mn，n，則m6.設(shè)l，m，n表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題：若ml，且m，則l；若ml，且m，則l；若l，m，n，則lmn；若m，l，n，且n，則lm.其中正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.47.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45.其中正確的有_(把所有正確的序號都填上).8.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO平面BB1C1C.則B1C與AB的位置關(guān)系為_.9.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)10.(2014山東)如圖，四棱錐PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點.(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：BE平面PAC.11.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD、PC的中點.求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.12.(2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.(1)若ACBC，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE平面A1MC？請證明你的結(jié)論.答案精析第26練完美破解立體幾何證明題?？碱}型精析例1證明(1)如圖，連接SB，E、G分別是BC、SC的中點，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直線EG平面BDD1B1.(2)連接SD，F(xiàn)、G分別是DC、SC的中點，F(xiàn)GSD.又SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.變式訓(xùn)練1(1)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCAD，因為BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCCD，因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因為PD平面PDC，所以BCPD.(3)解如圖，取CD的中點E，連接AC和PE.因為PDPC，所以PECD，在RtPED中，PE.因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因為PD平面PDC，所以ADPD.設(shè)點C到平面PDA的距離為h，因為V三棱錐CPDAV三棱錐PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以點C到平面PDA的距離是.例2證明(1)如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.F為CD的中點，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.變式訓(xùn)練2(1)證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC，BC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在RtDCF中，CFCD.過點F作FGCD交CD于點G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.例3證明(1)方法一如圖，連接DG，設(shè)CDGFM，連接MH.在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形.則M為CD的中點，又H為BC的中點，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二在三棱臺DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點，可得BHEF，BHEF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，可得BEHF.在ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GHAB.又GHHFH，ABBEB，所以平面FGH平面ABED.又因為BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)連接HE，因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.變式訓(xùn)練3(1)證明E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，EGPM，GFBC.又四邊形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA內(nèi)，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG、GF都在平面EFG內(nèi)且相交，平面EFG平面PMA.(2)證明由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四邊形ABCD為正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.由(1)知GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA1，則PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即為點P到平面MAB的距離，VPMABVPABCDSMABDAS正方形ABCDPDSMABS正方形ABCD(22)14.即三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比為14.高考題型精練1.D 若l與l1，l2都不相交則ll1，ll2，l1l2，這與l1和l2異面矛盾，l至少與l1，l2中的一條相交.2.A 直線l平面，直線l平面，又直線m平面，lm；但直線l平面，直線m平面，且lm時，與可以相交，故“”是“l(fā)m”的充分不必要條件，選A.3.A 在折疊過程中，ABBE，ADDF保持不變.AP面PEF.4.C 對于，平面與還可以相交；對于，當(dāng)ab時，不一定能推出，所以是錯誤的，易知正確，故選C.5.C A中，由mn, n，可得m或m或m與相交，錯誤；B中，由m，可得m或m或m與相交，錯誤；C中，由m，n，可得mn，又n，則m，正確；D中，由mn，n，可得m與相交或m或m，錯誤.6.B 對于，兩條平行線中有一條與一平面垂直，則另一條也與這個平面垂直，故正確；對于，直線l可能在平面內(nèi)，故錯誤；對于，三條交線除了平行，還可能相交于同一點，故錯誤；對于，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷其正確.綜上正確.7.解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正確；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，錯；由正六邊形的性質(zhì)得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直線BC平面PAE也不成立，錯；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正確.8.異面垂直解析AO平面BB1C1C，AOB1C，又平面BB1C1C為菱形，B1CBO，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB.9.DMPC(或BMPC，答案不唯一)解析四邊形ABCD是菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，BD平面PAC，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.10.證明(1)設(shè)ACBEO，連接OF，EC，如圖.由于E為AD的中點，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點.又F為PC的中點，因此在PAC中，可得APOF，又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由題意知EDBC，EDBC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE，因為四邊形ABCE為菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.11.證明(1)平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四邊形ABED為平行四邊形.BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，則PACD，又PAADA，CD平面PAD，從而CDPD，又E、F分別為CD、CP的中點，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EFBEE，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF底面PCD.12.(1)證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因為AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線，所以AA1平面ABC.因為直線BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交的直線，所以BC平面ACC1A1.(2)解如圖，取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點.由已知，O為AC1的中點.連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO.因為直線DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線DE平面A1MC.即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE平面A1MC.