第14練函數(shù)的極值與最值題型分析高考展望本部分內(nèi)容為導數(shù)在研究函數(shù)中的一個重要應用，在高考中也是重點考查的內(nèi)容，多在解答題中的某一問中考查，要求熟練掌握函數(shù)極值與極值點的概念及判斷方法，極值和最值的關系.?？碱}型精析題型一利用導數(shù)求函數(shù)的極值例1(2014江西)已知函數(shù)f(x)(x2bxb)(bR).(1)當b4時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.點評(1)導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點，所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點.(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值.變式訓練1(2015安徽)已知函數(shù)f(x)(a>0，r>0).(1)求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)若400，求f(x)在(0，)內(nèi)的極值.題型二利用導數(shù)求函數(shù)最值例2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，曲線yf(x)在點x1處的切線為l：3xy10，若x時，yf(x)有極值.(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值.點評(1)求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0的點，再計算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個區(qū)間上的變化情況.變式訓練2(2015安徽)設函數(shù)f(x)x2axb.(1)討論函數(shù)f(sin x)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；(2)記f0(x)x2a0xb0，求函數(shù)|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb滿足D1時的最大值.高考題型精練1.(2015深圳模擬)設aR，若函數(shù)yexax，xR有大于零的極值點，則()A.a<1 B.a>1C.a> D.a<2.已知函數(shù)yx33xc的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c等于()A.2或2 B.9或3C.1或1 D.3或13.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，則()A.當k1時，f(x)在x1處取到極小值B.當k1時，f(x)在x1處取到極大值C.當k2時，f(x)在x1處取到極小值D.當k2時，f(x)在x1處取到極大值4.(2015煙臺模擬)若函數(shù)f(x)有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(4,0) B.(，0C.(4,0 D.(，0)5.已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，則()A.f(x1)>0，f(x2)>B.f(x1)<0，f(x2)<C.f(x1)>0，f(x2)<D.f(x1)<0，f(x2)>6.已知函數(shù)f(x)x32bx2cx1有兩個極值點x1，x2，且x12，1，x21,2，則f(1)的取值范圍是()A.，3 B.，6C.3,12 D.，127.函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是_.8.已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是_.9.若函數(shù)f(x)(1x2)(x2axb)的圖象關于直線x2對稱，則f(x)的最大值是_.10.已知函數(shù)f(x)ln x，求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間.11.(2014安徽 )設函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當x0,1時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.12.(2015課標全國)設函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.答案精析第14練函數(shù)的極值與最值?？碱}型精析例1解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(，).當b4時，f(x)，由f(x)0得x2或x0.當x(，2)時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x(2,0)時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x(0，)時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)當x2時取得極小值f(2)0，在當x0時取得極大值f(0)4.(2)f(x)，因為當x(0，)時，<0，依題意當x(0，)時，有5x(3b2)0，從而(3b2)0.所以b的取值范圍為(，.變式訓練1解(1)由題意知xr，所求的定義域為(，r)(r，).f(x)，f(x).所以當x<r或x>r時，f(x)<0，當r<x<r時，f(x)>0.因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，r)，(r，)；f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(r，r).(2)由(1)可知f(r)0，f(x)在(0，r)上單調(diào)遞增，在(r，)上單調(diào)遞減.因此，xr是f(x)的極大值點，所以f(x)在(0，)內(nèi)的極大值為f(r)100，無極小值.例2解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.當x1時，切線l的斜率為3，可得2ab0. 當x時，yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40.由，解得a2，b4.由于切點的橫坐標為x1，所以f(1)4.所以1abc4，所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，所以f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.當x變化時，f(x)，f(x)的取值及變化情況如下表所示：x3(3，2)2(2，)(，1) 1f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值為13，最小值為.變式訓練2解(1)f(sin x)sin2 xasin xbsin x(sin xa)b，<x<.f(sin x)(2sin xa)cos x，<x<.因為<x<，所以cos x>0，2<2sin x<2.a2，bR時，函數(shù)f(sin x)單調(diào)遞增，無極值.a2，bR時，函數(shù)f(sin x)單調(diào)遞減，無極值.對于2<a<2，在內(nèi)存在唯一的x0，使得2sin x0a.<xx0時，函數(shù)f(sin x)單調(diào)遞減；x0x<時，函數(shù)f(sin x)單調(diào)遞增；因此，2<a<2，bR時，函數(shù)f(sin x)在x0處有極小值f(sin x0)fb.(2)x時，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.當(a0a)(bb0)0時，取x，等號成立.當(a0a)(bb0)<0時，取x，等號成立.由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值為D|aa0|bb0|.(3)D1即為|a|b|1，此時0a21，1b1，從而zb1.取a0，b1，則|a|b|1，并且zb1.由此可知，zb滿足條件D1的最大值為1.高考題型精練1.A yexax，yexa.函數(shù)yexax有大于零的極值點，則方程yexa0有大于零的解，x>0時，ex<1，aex<1.2.A y3x23，當y0時，x1.則x變化時，y，y的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00yc2c2因此，當函數(shù)圖象與x軸恰有兩個公共點時，必有c20或c20，c2或c2.3.C 當k1時，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的極值點.當k2時，f(x)(x1)(xexex2)，顯然f(1)0，且x在1的左邊附近f(x)<0，x在1的右邊附近f(x)>0，f(x)在x1處取到極小值.故選C.4.B 據(jù)題意當x>0時，ln x0，解得x1，當x0時，kx2，此時x0必為函數(shù)零點，故若函數(shù)有兩個零點，當且僅當x<0，kx2無根即可，即kx在區(qū)間(，0)上無解，數(shù)形結合如圖所示，易知當k0時，直線ykx與函數(shù)y在(，0)上無交點，故選B.5.D f(x)ln x12ax(x>0)，令f(x)0得2a，設(x)，知(x)，(x)草圖如圖，f(x)的兩個極值點0<x1<1，x2>1，且2a(0,1)，a.由f(x)草圖可知f(x)在區(qū)間(0，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增.又f(0)0，f(1)a，f(x2)f(1)且a.f(x1)<0，f(x2)>.6.C 方法一由于f(x)3x24bxc，據(jù)題意方程3x24bxc0有兩個根x1，x2，且x12，1，x21,2，令g(x)3x24bxc，結合二次函數(shù)圖象可得只需此即為關于點(b，c)的線性約束條件，作出其對應平面區(qū)域，f(1)2bc，問題轉化為在上述線性約束條件下確定目標函數(shù)f(1)2bc的最值問題，由線性規(guī)劃易知3f(1)12，故選C.方法二方程3x24bxc0有兩個根x1，x2，且x12，1，x21,2的條件也可以通過二分法處理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(1)0即可，利用同樣的方法也可解答.7.0<a<1解析f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2.又x(0,1)，0<a<1.8.a>2或a<1解析f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.因為函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，所以方程x22axa20有兩個不相等的實根，即4a24a8>0，解得a>2或a<1.9.16解析依題意，f(x2)為偶函數(shù)，f(x2)(x24x3)x2(a4)x42ab，其中x3的系數(shù)為8a0，故a8，x的系數(shù)為284b11a0，故b15，令f(x)0，得x36x27x20，由對稱軸為x2可知，將該式分解為(x2)(x24x1)0，可知其在2和2處取到最大值，最大值為16.10.解因為f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定義域為(0，)，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值所以x1時，f(x)的極小值為1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).11.解(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1<x2，所以f(x)3(xx1)(xx2).當x<x1或x>x2時，f(x)<0；當x1<x<x2時，f(x)>0.故f(x)在(，)和(，)內(nèi)單調(diào)遞減，在(，)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)因為a>0，所以x1<0，x2>0.當a4時，x21，由(1)知，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值；當0<a<4時，x2<1，由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在xx2處取得最大值.又f(0)1，f(1)a，所以當0<a<1時，f(x)在x1處取得最小值；當a1時，f(x)在x0處和x1處同時取得最小值；當1<a<4時，f(x)在x0處取得最小值.12.(1)證明f(x)m(emx1)2x.若m0，則當x(，0)時，emx10，f(x)0；當x(0，)時，emx10，f(x)0.若m0，則當x(，0)時，emx10，f(x)0；當x(0，)時，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.(2)解由(1)知，對任意的m，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值.所以對于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是即設函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1.當t0時，g(t)0；當t0時，g(t)0.故g(t)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增.又g(1)0，g(1)e12e0，故當t1,1時，g(t)0.當m1,1時，g(m)0，g(m)0，即式成立；當m1時，由g(t)的單調(diào)性，g(m)0，即emme1；當m1時，g(m)0，即emme1.綜上，m的取值范圍是1,1.