第41練幾何證明選講題型分析高考展望本講主要考查相似三角形與射影定理，圓的切線及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理，圓周角定理及弦切角定理，相交弦、切割線、割線定理等，本部分內(nèi)容多數(shù)涉及圓，并且多是以圓為背景設(shè)計(jì)的綜合性考題，考查邏輯推理能力試題主要以解答題形式出現(xiàn)，難易程度均為中低檔題?？碱}型精析題型一相似三角形及射影定理例1如圖所示，CD垂直平分AB，點(diǎn)E在CD上，DFAC，DGBE，F(xiàn)、G分別為垂足求證：AFACBGBE.點(diǎn)評(píng)(1)在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”(2)證題時(shí)，作垂線構(gòu)造直角三角形是解該類問題的常用方法變式訓(xùn)練1如圖，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求證：EFDFBCAC.題型二相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用例2(2014重慶改編)過圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的值點(diǎn)評(píng)(1)圓中線段長(zhǎng)度成比例的問題，要結(jié)合切割線定理、相交弦定理，構(gòu)造比例關(guān)系(2)利用相似關(guān)系求解線段長(zhǎng)度要靈活地在三角形中對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化或等比替換變式訓(xùn)練2(2015天津改編)如圖，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過點(diǎn)M，N.若CM2，MD4，CN3，求線段NE的長(zhǎng)題型三四點(diǎn)共圓的判定例3如圖，已知ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，B60，F(xiàn)在AC上，且AEAF.證明：(1)B、D、H、E四點(diǎn)共圓；(2)CE平分DEF.點(diǎn)評(píng)(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊表的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓變式訓(xùn)練3(2015湖南)如圖，在O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F，證明：(1)MENNOM180；(2) FEFNFMFO.高考題型精練1(2015重慶改編)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的長(zhǎng)2(2015陜西)如圖，AB切O于點(diǎn)B，直線AO 交O于D，E兩點(diǎn)，BCDE，垂足為C.(1)證明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直徑3.如圖，O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交O于N，過N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P.(1)求證：PM2PAPC；(2)若O的半徑為2，OAOM，求MN的長(zhǎng)4(2015課標(biāo)全國(guó))如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn)(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AEMN2，求四邊形EBCF的面積5(2014課標(biāo)全國(guó))如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CBCE.(1)證明：DE；(2)設(shè)AD不是O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形6.如圖所示，已知AP是O的切線，P為切點(diǎn)，AC是O的割線，與O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)(1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；(2)求OAMAPM的大小7(2014遼寧)如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PGPD，連結(jié)DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若ACBD，求證：ABED.8.如圖所示，過圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作直線AP垂直于直線OM，垂足為P.(1)證明：OMOPOA2；(2)N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直于直線ON，且交圓O于B點(diǎn)過B點(diǎn)的切線交直線ON于K.證明：OKM90.答案精析專題9系列4選講第41練幾何證明選講?？碱}型精析例1證明因?yàn)镃D垂直平分AB，所以ACD和BDE均為直角三角形，并且ADBD.又因?yàn)镈FAC，DGBE，所以AFACAD2，BGBEDB2，因?yàn)锳D2DB2，所以AFACBGBE.變式訓(xùn)練1證明BAC90，且ADBC，由射影定理得AC2CDBC，.EFBC，ADBC，EFAD，.又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，AEEF，.由、得，即EFDFBCAC.例2解由切割線定理得PA2PBPCPB(PBBC)，即62PB(PB9)，解得PB3(負(fù)值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，則，即，解得AB4.變式訓(xùn)練2解根據(jù)相交弦定理可知，CMMDAMMBAB28，CNNEANNBAB28，而CN3，所以NE.例3證明(1)在ABC中，因?yàn)锽60，所以BACBCA120.因?yàn)锳D、CE分別是BAC、DCF的平分線，所以HACHCA60，故AHC120.于是EHDAHC120.所以EBDEHD180，所以B、D、H、E四點(diǎn)共圓(2)連結(jié)BH，則BH為ABC的平分線，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四點(diǎn)共圓，所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30.所以CE平分DEF.變式訓(xùn)練3證明(1)如圖所示，因?yàn)镸，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，所以O(shè)MAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180，又四邊形的內(nèi)角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得FEFNFMFO.高考題型精練1解首先由切割線定理得PA2PCPD，因此PD12，CDPDPC9，又CEED21，因此CE6，ED3，再由相交弦定理得AEEBCEED，所以BE2.2(1)證明因?yàn)镈E為O直徑，則BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，從而CBDBED，又AB切O于點(diǎn)B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)解由(1)知BD平分CBA，則3，又BC，從而AB3，所以AC4，所以AD3，由切割線定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O直徑為3.3(1)證明連結(jié)ON，則ONPN，且OBN為等腰三角形，則OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根據(jù)切割線定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延長(zhǎng)BO交O于點(diǎn)D，連結(jié)DN.由條件易知BOMBND，于是，即，BN6.MNBNBM642.4(1)證明由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線又因?yàn)镺分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF.從而EFBC.(2)解由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分線，又EF為O的弦，所以O(shè)在AD上連接OE，OM，則OEAE.由AG等于O的半徑得AO2OE，所以O(shè)AE30.因此ABC和AEF都是等邊三角形因?yàn)锳E2，所以AO4，OE2.因?yàn)镺MOE2，DMMN，所以O(shè)D1.于是AD5，AB.所以四邊形EBCF的面積為2(2)2.5證明(1)由題設(shè)知，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以DCBE，由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，則由MBMC知MNBC，故O在直線MN上又AD不是O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形6.(1)證明連結(jié)OP，OM，因?yàn)锳P與O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)PAP，因?yàn)镸是O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC，于是OPAOMA180.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓(2)解由(1)得，A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以O(shè)AMOPM，由(1)得OPAP，由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知OPMAPM90，所以O(shè)AMAPM90.7證明(1)因?yàn)镻DPG，所以PDGPGD.由于PD為切線，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，從而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90，故AB是直徑 (2)連結(jié)BC，DC.由于AB是直徑，故BDAACB90.在RtBDA與RtACB中，ABBA，ACBD，從而RtBDARtACB.于是DABCBA.又因?yàn)镈CBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE為直角于是ED為直徑由(1)得EDAB.8證明(1)因?yàn)镸A是圓O的切線，所以O(shè)AAM.又因?yàn)锳POM，在RtOAM中，由射影定理知，OA2OMOP.(2)因?yàn)锽K是圓O的切線，BNOK，同(1)，有OB2ONOK，又OBOA，所以O(shè)POMONOK，即.又NOPMOK，所以O(shè)NPOMK，故OKMOPN90.