第43練不等式選講題型分析高考展望本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想?？碱}型精析題型一含絕對(duì)值不等式的解法例1已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值點(diǎn)評(píng)(1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法變式訓(xùn)練1(2014重慶改編)若不等式|2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍題型二不等式的證明例2(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y.求證：2x2y3.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|xy|<，|2xy|<，求證：|y|<.點(diǎn)評(píng)(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力(2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧變式訓(xùn)練2(1)若a，bR，求證：.(2)已知a，b，c均為正數(shù)，ab1，求證：1.題型三利用算術(shù)幾何平均不等式或柯西不等式證明或求最值例3(1)已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c2()26，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號(hào)成立；(2)已知a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值點(diǎn)評(píng)利用算術(shù)幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí)，首先要觀察式子特點(diǎn)，構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，其次要注意取得最值的條件是否成立變式訓(xùn)練3(2015福建)已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值高考題型精練1(2015江蘇)解不等式x|2x3|2.2(2015陜西)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值3(2014課標(biāo)全國)若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由4設(shè)函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值5設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.6(2014課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范圍7(2014福建)已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.8(2015課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍答案精析第43練不等式選講?？碱}型精析例1解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.變式訓(xùn)練1解設(shè)y|2x1|x2|當(dāng)x<2時(shí)，y3x1>5；當(dāng)2x<時(shí)，yx3>；當(dāng)x時(shí)，y3x1，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因?yàn)椴坏仁絴2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范圍為1，例2證明(1)因?yàn)閤>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3，(2)因?yàn)?|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設(shè)知|xy|<，|2xy|<，從而3|y|<，所以|y|<.變式訓(xùn)練2證明(1)當(dāng)|ab|0時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)|ab|0時(shí)，由0<|ab|a|b|，所以.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.例3解(1)方法一因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式得a2b2c23(abc) ，3(abc)，所以()29(abc).故a2b2c2()23(abc) 9(abc) .又3(abc) 9(abc) 26，所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，式和式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)9(abc) 時(shí)，式等號(hào)成立故當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)，原不等式等號(hào)成立方法二因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c2()2abbcac6.所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，式和式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)abc，(ab)2(bc)2(ac)23時(shí)，式等號(hào)成立故當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)，原不等式等號(hào)成立(2)方法一利用算術(shù)幾何平均不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.方法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1，()218，3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立()max3.變式訓(xùn)練3解(1)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2.當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號(hào)成立故a2b2c2的最小值為.高考題型精練1解原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.2解(1)由|xa|b，得baxba，則解得a3，b1.(2)24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4.3解(1)由，得ab2，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立故a3b324，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于4>6，從而不存在a，b，使得2a3b6.4解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為x|x由題設(shè)可得1，故a2.5證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.6(1)證明由a>0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)解f(3)|3a|.當(dāng)a>3時(shí)，f(3)a，由f(3)<5，得3<a<.當(dāng)0<a3時(shí)，f(3)6a，由f(3)<5，得<a3.綜上，a的取值范圍是(，)7(1)解因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.8解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)