第42練坐標(biāo)系與參數(shù)方程題型分析高考展望高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識?？碱}型精析題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長點(diǎn)評(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一(2)在與曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性變式訓(xùn)練1(2014廣東改編)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)題型二參數(shù)方程與普通方程的互化例2(2015福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為sinm(mR)(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值點(diǎn)評(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?，加減消參法，平方消參法等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標(biāo)出x、y的取值范圍變式訓(xùn)練2(2014福建)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍題型三極坐標(biāo)、參數(shù)方程及其應(yīng)用例3(2015課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求AB的最大值點(diǎn)評(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義(2) 解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認(rèn)識，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用(3) 變式訓(xùn)練3(2015陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)高考題型精練1(2015江蘇)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑2(2014安徽改編)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是4cos ，求直線l被圓C截得的弦長3(2015課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積4(2015湖南)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求MAMB的值5(2014遼寧)將圓x2y21上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程6在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以O(shè)為原點(diǎn)，Ox軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin24cos ，(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l和曲線C相切，求實(shí)數(shù)k的值7(2014課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，0，(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)8在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求PAPB.答案精析第42練坐標(biāo)系與參數(shù)方程?？碱}型精析例1解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直線l對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲線C對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y28x.解方程組，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即線段AB的長為16.變式訓(xùn)練1解因?yàn)閤cos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos ，所以曲線C1的普通方程為y2x.由sin 1，得曲線C2的普通方程為y1.由得故曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)例2解(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即2，解得m32.變式訓(xùn)練2解(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線l的距離d4，解得2a2.例3解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)所以AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時(shí)，AB取得最大值，最大值為4.變式訓(xùn)練3解(1)由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)設(shè)P，又C(0，)，則PC ，故當(dāng)t0時(shí)，PC取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0)高考題型精練1解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.2解直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是yx4，圓C的極坐標(biāo)方程4cos 化為直角坐標(biāo)方程是x2y24x0.圓C的圓心(2,0)到直線xy40的距離為d.又圓C的半徑r2，因此直線l被圓C截得的弦長為22.3解(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即MN.由于C2的半徑為1，所以C2MN為等腰直角三角形，所以C2MN的面積為.4解(1)2cos 等價(jià)于22cos .將2x2y2，cos x代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.(2)將代入式，得t25t180.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，MAMB|t1t2|18.5解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得由x21y1得x2()21，即曲線C的方程為x21.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)由解得或不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，所求直線斜率為k，于是所求直線方程為y1(x)，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos 4sin 3，即.6解(1)由，得直線l的普通方程為ykx1，由sin24cos 得2sin24cos ，y24x，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y24x.(2)把ykx1代入y24x，得k2x2(2k4)x10，當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，由(2k4)24k20，得k1.經(jīng)檢驗(yàn)k1適合題意，所求實(shí)數(shù)k1.7解(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓，因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐標(biāo)為(1cos ，sin )，即(，)8解方法一(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得(3t)2(t)25，即t23t40.由于(3)2442>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以又直線l過點(diǎn)P(3，)，故由上式及t的幾何意義得PAPB|t1|t2|t1t23.方法二(1)同方法一(2)因?yàn)閳AC的圓心為點(diǎn)(0，)，半徑r，直線l的普通方程為yx3.由得x23x20.解得或不妨設(shè)A(1,2)，B(2,1)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，故PAPB3.