第一課二階矩陣與平面向量【考點(diǎn)掃描】1 了解矩陣的相關(guān)知識(shí)在數(shù)學(xué)中，把形如，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱做矩陣，一般地，我們用大寫黑體拉丁字母，或者（aij）來表示矩陣，其中i,j分別表示元素所在的行和列。同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣和元素，所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣.平面上向量的坐標(biāo)和平面上的點(diǎn)P（x,y）都可以看做是行矩陣，也可以看做是列矩陣.因此我們又稱為行向量，稱為列向量，在本書中，我們把平面向量（x,y）的坐標(biāo)寫成的形式.當(dāng)兩個(gè)矩陣、，只有當(dāng)它們的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)，才有.2 掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則：=二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：=一般地兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算3 理解二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義一個(gè)列向量左乘一個(gè)2×2矩陣M后得到一個(gè)新的列向量，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P（x,y）,那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn).對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)（向量）（x,y）,若按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)惟一的一個(gè)點(diǎn)（向量），則稱T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為：T：或T：一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩陣確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM,的作用下得到一個(gè)新的圖形.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、 寫出方程組變量x,y的系數(shù)矩陣.2、已知,，若A=B，求a，b，c，d.3、某公司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A、B、C送煤的量分別是100萬噸、140萬噸、160萬噸；從乙礦區(qū)向城市A、B、C送煤的量分別是300萬噸、260萬噸、540萬噸；把上述結(jié)果分別用2×3矩陣和3×2矩陣表示.4、分別計(jì)算下列乘法運(yùn)算的結(jié)果（1）（2）（3）（4）5、求點(diǎn)A（3，6）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn).6、已知變換=，試將它寫成坐標(biāo)變換的形式.【解題指導(dǎo)】例1、計(jì)算：（1） （2）解：（1）原式= （2）原式=點(diǎn)評(píng)：掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則是解題的關(guān)鍵例2、已知平面上一個(gè)正方形ABCD（順時(shí)針）的四個(gè)頂點(diǎn)用矩陣表示為，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面積.解：正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為A（0，0）、B（a,c）、C(0,4)、D(b,d),從而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB|=2，正方形ABCD的面積為8.點(diǎn)評(píng): 根據(jù)頂點(diǎn)矩陣寫出正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo),再利用正方形中的邊長相等,對(duì)角線相等互相垂直平分等有關(guān)數(shù)量關(guān)系求出a,b,c,d的值和正方形的面積.例3、已知，若A=B，求x，y.解：由矩陣相等的定義得：且解之得：x=y=-1點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)矩陣相等的充要條件是它們的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等.例4、已知變換，試將它寫成矩陣的乘法形式.解：根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則得點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式. 例5、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在1,2 上的最小值.解: BC=, 又 A=BC，x1,2 當(dāng)x時(shí)，函數(shù)在1,2上的最小值為. 當(dāng)1x2時(shí)，函數(shù)在1,2上的最小值為.當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)在1,2上的最小值為點(diǎn)評(píng)：（1）本題運(yùn)用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個(gè)矩陣相等的充要條件；（2）求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論. 【本課小結(jié)】1. 基礎(chǔ)知識(shí)：掌握矩陣的相關(guān)知識(shí)與二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義2. 基本技能：正確地進(jìn)行二階矩陣與平面列向量的乘法運(yùn)算3. 基本思想：靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程的思想解決矩陣問題【能力測(cè)試】1、“兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、3、計(jì)算:=_4、點(diǎn)A（1，2）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是_5、已知是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，求a，b.6、已知，若A=B，求，.7、設(shè)矩陣A為二階矩陣，且規(guī)定其元素，i=1，2，j=1，2，且，試求A.8、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1，0），求.9、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2，4），求點(diǎn)A的坐標(biāo).10、已知ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，2），B（2，4），O（0，0）,計(jì)算在變換TM=之下三個(gè)頂點(diǎn)ABO的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).11、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值.第二課幾種常見的平面變換【考點(diǎn)掃描】1理解可以用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義（）一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩陣確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM,的作用下得到一個(gè)新的圖形.在本節(jié)中研究的變換包括恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等六個(gè)變換（）由矩陣M=確定的變換TM稱為恒等變換，這時(shí)稱矩陣M為恒等變換矩陣或單位矩陣，二階單位矩陣一般記為E.平面是任何一點(diǎn)（向量）或圖形，在恒等變換之下都把自己變?yōu)樽约?（）由矩陣M=或M=確定的變換TM稱為（垂直）伸壓變換，這時(shí)稱矩陣M=或M=伸壓變換矩陣當(dāng)M=時(shí)確定的變換將平面圖形作沿x軸方向伸長或壓縮,當(dāng)時(shí)伸長,當(dāng)時(shí)壓縮.變換TM確定的變換不是簡(jiǎn)單地把平面上的點(diǎn)(向量) 沿x軸方向“向下壓”或“向外伸”,它是x軸方向伸長或壓縮,以為例，對(duì)于x軸上方的點(diǎn)向下壓縮，對(duì)于x軸下方的點(diǎn)向上壓縮，對(duì)于x軸上的點(diǎn)變換前后原地不動(dòng)當(dāng)M=時(shí)確定的變換將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮,當(dāng)時(shí)伸長,當(dāng)時(shí)壓縮在伸壓變換之下，直線仍然變?yōu)橹本€，線段仍然變?yōu)榫€段恒等變換是伸壓變換的特例，伸壓變換多與三角函數(shù)圖象的變換聯(lián)系起來研究（）將一個(gè)平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖形的變換矩陣稱為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換稱為反射變換，關(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的反射又分別稱為軸反射和中心反射，定直線稱為反射軸，定點(diǎn)稱為反射點(diǎn)反射變換是軸對(duì)稱變換、中心對(duì)稱變換的總稱.在中學(xué)里常研究的反射變換有：由矩陣M=確定的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換，由矩陣M=確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換,由矩陣M=確定的變換是關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換由矩陣M=確定的變換是關(guān)于直線y=x的軸反射變換學(xué)習(xí)反射變換要與函數(shù)圖象的變換、解幾中二次曲線變換的知識(shí)聯(lián)系起來考慮.其實(shí)質(zhì)是變換對(duì)縱橫坐標(biāo)產(chǎn)生的影響.（）將一個(gè)平面圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角得到另一個(gè)平面圖形的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中的角叫做旋轉(zhuǎn)角，定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角時(shí)旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為旋轉(zhuǎn)變換只會(huì)改變幾何圖形的位置，不會(huì)改變幾何圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所確定繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換相當(dāng)于關(guān)于定點(diǎn)作中心反射變換（）將一個(gè)平面圖投影到某條直線（或某個(gè)點(diǎn)）的變換稱為投影變換，變換對(duì)應(yīng)的矩陣稱為投影變換矩陣，本節(jié)中主要研究的是由矩陣M=，M= ，M=確定的投影變換需要注意的是投影變換是映射，但不是一一映射（）由矩陣M=或確定的變換稱為切變變換，對(duì)應(yīng)的矩陣稱為切變變換矩陣以為例，矩陣把平面上的點(diǎn)沿x軸方向平移ky|個(gè)單位，當(dāng)ky時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，當(dāng)ky時(shí)沿x軸負(fù)方向移動(dòng)，當(dāng)ky時(shí)原地不動(dòng)，切變變換有如下性質(zhì)：（）x軸上的點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)；（）保持圖形面積大小不變,點(diǎn)間的距離和夾角大小可以改變且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是沿坐標(biāo)軸方向進(jìn)行的切變變換的實(shí)質(zhì)是橫（縱坐標(biāo)）成比例地運(yùn)動(dòng).2理解二階矩陣對(duì)應(yīng)的幾何變換是線性變換，了解單位矩陣一般地，二階非零矩陣對(duì)應(yīng)變換把直線變?yōu)橹本€，把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換，本節(jié)中所研究的6種變換均為線性變換，在研究平面上多邊形或直線在矩陣的變換作用后的圖形時(shí)，只需考察頂點(diǎn)（或端點(diǎn)）的變化結(jié)果即可3.了解恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換這六個(gè)變換之間的關(guān)系如恒等變換可以看做伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變變換的特殊情形;關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的中心反射變換可以看做是繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換，它還可以看做是先作關(guān)于x軸的反射再作關(guān)于y軸的反射的復(fù)合; 繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換可以看做是先繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換再繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換等等.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】、已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四邊形ABCD在矩陣變換作用下變成正方形，則（）.、 、2 、3 、2、已知矩陣M1=，M2=，M3=，則由M1，M2，M3確定的變換分別是（ ）A、恒等變換、反射變換、投影變換 B、恒等變換、投影變換、反射變換C、投影變換、反射變換、恒等變換 D、反射變換、恒等變換、投影變換ABCD1-1Oxy1-13、直線x+y=5在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的圖形是（ ）A、直線x+y=5 B、直線y=5 C、直線x=5 D、點(diǎn)（0，5）4、將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，則向量的坐標(biāo)為=_.5、圖中正方形ABCD在由矩陣所確定變換的作用后的圖形的 面積為_.6、若直線y=4x-4在矩陣M對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變成另一條直線y=x-1，則 M=_.【解題指導(dǎo)】例1、求圓C：在矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換下的曲線方程，并判斷曲線的類型.解：設(shè)P(x,y)是圓C：上的任一點(diǎn),P1是P(x,y) 在矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換下的曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn) ,則 即 ,所以代入得 方程表示的曲線為橢圓點(diǎn)評(píng)：通過變換矩陣建立所求曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵例、若曲線y=x2（x0）在矩陣M對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的曲線為y=x2（x0），求矩陣M.解：由兩曲線之間的關(guān)系知：矩陣M對(duì)應(yīng)的反射變換是以y軸為軸的反射變換，所以M點(diǎn)評(píng)：這類問題在求解時(shí)應(yīng)先確定兩曲線之間的反射變換是中心對(duì)稱反射變換還是是軸對(duì)稱變換如果是軸對(duì)稱變換再進(jìn)一步確定對(duì)稱軸，進(jìn)而寫出變換矩陣?yán)?、若ABC在矩陣M對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換作用下得到ABC，其中A（0，0），B（1，），C（0，2），A（0，0）， C（-，1），試求矩陣M并求B的坐標(biāo).解、由題意旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，設(shè)逆時(shí)旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 故而 設(shè)B（x,y）,則點(diǎn)評(píng)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣為，若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，則將上述矩陣中的換為即可例、已知在矩陣M的作用下點(diǎn)A（1，2）變成了點(diǎn)A（11，5），點(diǎn)B（3，-1）變成了點(diǎn)B（5，1），點(diǎn)C（x，0）變成了點(diǎn)C（y，2），求（1）矩陣M；求（2）x、y值.解： （1）設(shè)矩陣M=，解之得，M= （2）由 得 點(diǎn)評(píng)：求變換矩陣通常用待定系數(shù)法例、給定二階矩陣M，對(duì)任意向量 ，證明： 證明：設(shè)， 得證點(diǎn)評(píng)：更一般地，可以證明：，其中為任意實(shí)數(shù)?！颈菊n小結(jié)】 基礎(chǔ)知識(shí)：用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義 基本技能：會(huì)根據(jù)各種變換矩陣確定已知圖形的對(duì)應(yīng)變換之下的圖形，會(huì)根據(jù)兩個(gè)圖形之間的關(guān)系求出變換矩陣 基本思想或方法：靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法以及用代入法求曲線方程等方法解決變換問題【能力測(cè)試】、點(diǎn)（，k）在伸壓變換矩陣之下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-4），則m、k的值分別為（）A、，B、，C、，D、，、設(shè)T是以 ox 軸為軸的反射變換，則變換T的矩陣為（）A、 、 、 、設(shè)A是到ox軸的正投影變換，A把點(diǎn)P（x，y）變成點(diǎn)P（x，0），B是到oy軸的正投影變換B把點(diǎn)P（x，y）變成點(diǎn)P（0，y），則變換A和B的矩陣分別為（）.、，、，、，、， 、在某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換中，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為、曲線在矩陣作用下變換所得的圖形對(duì)應(yīng)的曲線方程為、曲線xy=1繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的曲線方程是，變換對(duì)應(yīng)的矩陣是.、已知曲線經(jīng)過伸壓變換T作用后變?yōu)樾碌那€，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M.、求出橢圓 在矩陣作用下變換所得的圖形.、設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-），T是繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 的旋轉(zhuǎn)變換，求旋轉(zhuǎn)變換T對(duì)應(yīng)的矩陣，并求點(diǎn)P在T作用下的象點(diǎn)P的坐標(biāo).、已知經(jīng)過點(diǎn)A（，2），平行于向量的直線l ,考察下列矩陣把直線l變成什么？12-2-1123xyoABAB（1） （2）11、若有一矩陣把右圖中ABO變成ABO，其中點(diǎn)A的象點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)B的象點(diǎn)為點(diǎn)B，試求該矩陣.第三課變換的復(fù)合與矩陣的乘法【考點(diǎn)掃描】 熟練掌握二階矩陣與二階矩陣的乘法（） 兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下：（） 兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律即 (AB)C=A(BC), ABBA, 由 AB=AC不一定能推出B=C.2. 理解矩陣的乘法運(yùn)算與變換的復(fù)合之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果從幾何的角度來看它表示的是原來兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的連續(xù)兩次變換.（2）一般地兩個(gè)變換之間是不能隨意交換位置的，只有在特殊情況下才可以交換位置（3）矩陣AB對(duì)應(yīng)的復(fù)合變換順序是先進(jìn)行矩陣B對(duì)應(yīng)的變換再進(jìn)行矩陣A對(duì)應(yīng)的變換.如果連續(xù)對(duì)一個(gè)向量實(shí)施n次矩陣A對(duì)應(yīng)的變換可以記為的形式.（4）在數(shù)學(xué)中，一一對(duì)應(yīng)的平面幾何變換都可以看是伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復(fù)合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換，對(duì)應(yīng)的矩陣叫做初等變換矩陣.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.=（ ）A、 B、 C、 D、2.已知矩陣X、M、N,若M=, N=，則下列X中不滿足:XM=N,的一個(gè)是（ ）A、X= B、X= C、X= D、X=3.已知A=,B=則AB=_,BA=_4.對(duì)任意的二階非零矩陣A、B、C，下列命題中:（1）AB=BA ; （2）AB0; （3）若AB=AC，則B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A20; （6）當(dāng)E為單位矩陣時(shí)恒有：AE=EA=A.，其中真命題的序號(hào)為 5. 設(shè)，分別求A2, A3 ,A4, A5.【解題指導(dǎo)】例1、已知矩陣M=和N=（1）求證：MN=NM（2）說明M、N所表示的幾何變換，并從幾何上說明滿足MN=NM解：（1）MN= NM= MN=NM（2）矩陣M所表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；矩陣N所表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）矩陣MN表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)先繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把該點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即把點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；矩陣NM表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把該點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即把點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，矩陣MN和矩陣NM所表示的變換是同一變換，MN=NM點(diǎn)評(píng)：（）熟練掌握二階矩陣乘法的運(yùn)算法則是進(jìn)行矩陣乘法的關(guān)鍵，需要指出的是，一般地不一定有MN=NM成立（）矩陣乘法的幾何意義是矩陣所對(duì)應(yīng)的變換的復(fù)合，同樣兩個(gè)變換的復(fù)合在一般情形之下是不可以交換的例、記，其中，作矩陣乘法SA，AS，（1）運(yùn)算結(jié)果有何規(guī)律？（2）S與單位矩陣、零矩陣的關(guān)系？（3）當(dāng)k>0時(shí)，矩陣S對(duì)應(yīng)的變換TS有何幾何意義？（4）研究TS與伸壓變換的關(guān)系？解：（1）由于 運(yùn)算結(jié)果有何規(guī)律是：S與任一矩陣A乘積可交換，其結(jié)果是將矩陣A的每個(gè)元素的同乘以實(shí)數(shù)k（2）k=1時(shí)，S為單位矩陣，k=0時(shí)，S為零矩陣（3）由于TS：=TS的幾何意義為：以原點(diǎn)為中心作相似比為k的位似變換，將每個(gè)點(diǎn)P（x，y）變換到點(diǎn)P（x，y） （4）TS相應(yīng)于在x軸方向的伸壓變換與y軸方向的伸壓變換的復(fù)合點(diǎn)評(píng)：（） 仔細(xì)體會(huì)兩個(gè)二階矩陣乘法可交換的條件。（） 從矩陣乘法的代數(shù)運(yùn)算和幾何意義兩個(gè)不同的方面理解矩陣乘法和變換復(fù)合之間的內(nèi)在聯(lián)系。（） 復(fù)雜的變換都可以通過簡(jiǎn)單的初等變換復(fù)合而成。例3、利用矩陣變換的幾何意義，請(qǐng)構(gòu)造滿足下列條件的矩陣，并給出幾何解釋：（1）構(gòu)造兩個(gè)矩陣M，N，它們不滿足MN=NM；（2）構(gòu)造兩個(gè)不同的矩陣A，B，使等式成立；（3）構(gòu)造兩個(gè)不同的矩陣A，B，使等式成立解：（1） 矩陣M表示向x軸壓縮為一半的變換矩陣N表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換，即 ，MNNM（2）將平面內(nèi)的點(diǎn)沿垂直于y軸方向投影到y(tǒng)=x，即（x，y）變?yōu)椋▂，y）表示的變換為將縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)比例增加，且（y，y）（y+y，y）=（2y，y）表示的變換為將平面內(nèi)的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿x軸方向拉伸為原來2倍，即（y，y）（2y，y）原等式成立（3）A對(duì)應(yīng)的變換表示恒等變換，即（x，y）變成(x，y)，對(duì)應(yīng)的變換表示將平面上的點(diǎn)（x，y）垂直投影到y(tǒng)軸，即（x，y）變成（0，y），這樣A把點(diǎn)（x，y）變成（0，y）B對(duì)應(yīng)的變換為將平面內(nèi)的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿x軸方向壓縮為原來的，即（x，y）變?yōu)椋?，y），再在變換作用下將（，y）變成（0，y）原等式成立點(diǎn)評(píng)：一般地，把一個(gè)矩陣分解為幾個(gè)矩陣的乘積是不唯一的，同樣把一個(gè)變換分解為幾個(gè)變換的復(fù)合的分解也是不唯一的。例4、求關(guān)于直線y=3x的反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣A解：在平面上任取一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于y=3x的對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）則有： 解得： A=點(diǎn)評(píng)：一般地若過原點(diǎn)的直線m的傾斜角為，則關(guān)于直線m的反射變換矩陣為： A=【本課小結(jié)】基礎(chǔ)知識(shí)：掌握二階矩陣與二階矩陣的乘法運(yùn)算法則，理解二階矩陣的乘法的幾何意義基本技能：能熟練進(jìn)行二階矩陣的乘法運(yùn)算，能把一些復(fù)雜變換轉(zhuǎn)化為六種常見變換的復(fù)合，會(huì)用復(fù)合變換的方法進(jìn)行圖形的變換，基本思想或方法：靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法等方法解決變換復(fù)合問題【能力測(cè)試】、 計(jì)算：_、 =_、 已知，則m= 1 ，n= 0 ，s= 1 、 已知，M=N=,則_,NM=_、 設(shè)若M=把直線l：2x+y+7=0變換為自身，則 1 ， -1 、 計(jì)算下列矩陣的乘積（） ； （）7、已知A=，試求據(jù)此猜想的結(jié)果.8、利用矩陣乘法定義證明下列等式 （k>0）并說明其幾何意義.9、已知中，A（0，0），B（2，0），C（1，2），對(duì)它先作M=對(duì)應(yīng)的變換，再作N=對(duì)應(yīng)的變換，試研究變換作用后的結(jié)果，并用一個(gè)矩陣來表示這兩次變換.10、利用矩陣變換的幾何意義，請(qǐng)你構(gòu)造滿足下列條件的矩陣，并給出幾何解釋：（1）構(gòu)造兩個(gè)不同的矩陣A、B，使成立；（2）構(gòu)造一個(gè)矩陣M（M為非零矩陣），使成立11、在直角坐標(biāo)系中，l1，l2都經(jīng)過原點(diǎn)O，傾斜角分別是，設(shè)TA，TB分別表示關(guān)于直線l1，l2的反射變換求：（1）先TA后TB的復(fù)合變換的矩陣BA；（2）先TB后TA的復(fù)合變換的矩陣AB；（3）討論當(dāng)，滿足什么條件時(shí)ABBA